如图，已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的顶点坐标 $M\left(0,-1\right)$，与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求抛物线的解析式；标注答案$y=x^2-1$解析因为抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的顶点坐标为 $M\left(0,-1\right)$，
所以抛物线的解析式为 $y=x^2-1$． -
判断 $\triangle MAB$ 的形状，并说明理由；标注答案$\triangle MAB$ 是等腰直角三角形解析因为 $A\left(-1,0\right)$，$B\left(1,0\right)$，
所以 $OA=OB=OM=1.$
所以 $\angle AMO=\angle MAO=\angle BMO=\angle MBO=45^\circ,$
所以 $\angle AMB=90^\circ,BM=AM.$
所以 $\triangle MAB$ 是等腰直角三角形 -
过原点的任意直线（不与 $y$ 轴重合）交抛物线于 $C,D$ 两点，连接 $MC,MD$，试判断 $MC,MD$ 是否垂直，并说明理由．标注答案$MC\perp MD$解析分别过点 $C$，$D$ 作 $y$ 轴的平行线，交 $x$ 轴于点 $E,F$，过点 $M$ 作 $x$ 轴的平行线交 $EC$ 延长线于点 $G$，交 $DF$ 延长线于点 $H$，
设 $D\left(m,m^2-1\right)$，$C\left(n,n^2-1\right)$，
所以 $OE=-n,CE=1-n^2,OF=m,DF=m^2-1$．
因为 $OM=1$，所以 $CG=n^2,DH=m^2$．
因为 $EG\parallel DH$，所以 $\dfrac{EC}{DF}=\dfrac{OE}{OF}$．
即 $\dfrac{1-n^2}{m^2-1}=\dfrac{-n}{m}$．
所以 $mn=-1$，即 $m=-\dfrac 1n $．
因为 $\dfrac {CG}{GM}=\dfrac{n^2}{-n}=-n$，$\dfrac{MH}{DH}=\dfrac{m}{m^2}=\dfrac 1m =-n$，
所以 $\dfrac{CG}{GM}=\dfrac{MH}{DH}$．
因为 $\angle CGM=\angle MHD=90^\circ $，所以 $\triangle CGM\backsim \triangle MHD$，
所以 $\angle CMG=\angle MDH$．
因为 $\angle MDH+\angle DMH=90^\circ$，所以 $\angle CMG+\angle DMH=90^\circ$，
所以 $\angle CMD=90^\circ$，
即 $MC\perp MD$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
