题目 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P\left(m,0\right)$ 为 $x$ 轴正半轴上的一点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，分别交抛物线 $y=-x^2+2x$ 和 $y=-x^2+3x$ 于点 $M,N$． 问题1 当 $m=\dfrac 12$ 时，$\dfrac{MN}{OP}=\underline \qquad$； 答案1 $1$ 解析1 略 备注1 问题2 如果点 $P$ 不在这两条抛物线中的任何一条上，当四条线段 $OP,PM,PN,MN$ 中恰好有三条线段相等时，求 $m$ 的值． 答案2 当 $m=1$ 或 $m=4$ 时，这四条线段中恰有三条线段相等 解析2 因为 $OP=m$，$MN=\left(-m^2+3m\right)-\left(-m^2+2m\right)=m$，<br/>所以 $OP=MN$．<br/>① 当 $0<m<2$ 时，<br/>因为 $PM=-m^2+2m$，$PN=-m^2+3m$，<br/>所以若 $PM=OP=MN$，有 $-m^2+2m=m$，解得 $m=0(舍),m=1$，<br/>若 $PN=OP=MN$，有 $-m^2+3m=m$，解得 $m=0(舍),m=2(舍)$．<br/>② 当 $2<m<3$ 时，<br/>因为 $PM=m^2-2m$，$PN=-m^2+3m$，<br/>所以若 $PM=OP=MN$，有 $m^2-2m=m$，解得 $m=0(舍),m=3(舍)$，<br/>若 $PN=OP=MN$，有 $-m^2+3m=m$，解得 $m=0(舍),m=2(舍)$．<br/>③ 当 $m>3$ 时，<br/>因为 $PM=m^2-2m$，$PN=m^2-3m$，<br/>所以若 $PM=OP=MN$，有 $m^2-2m=m$，解得 $m=0(舍),m=3(舍)$，<br/>若 $PN=OP=MN$，有 $m^2-3m=m$，解得 $m=0(舍),m=4$．<br/>综上，当 $m=1$ 或 $m=4$ 时，这四条线段中恰有三条线段相等．<img src="/static/images/6cab55cf696c1e8ca1768b67cf3b43f8.png" class="img-responsive" /> 备注2