如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$AB\perp x$ 轴于点 $B$，$AB=3$，$\tan\angle AOB=\dfrac 34$，将 $\triangle OAB$ 绕着原点 $O$ 逆时针旋转 $90^\circ$，得到 $\triangle OA_1B_1$，再将 $\triangle OA_1B_1$ 绕着线段 $OB_1$ 的中点旋转 $180^\circ$，得到 $\triangle OA_2B_1$，抛物线 $y=ax^2+bx+c$（$a\ne 0$）经过点 $B,B_1,A_2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求抛物线的解析式；标注答案$y=\dfrac 13x^2+\dfrac 13x-4$解析因为 $AB\perp x$ 轴，$AB=3$，$\tan \angle AOB=\dfrac 34$，
所以 $OB=4$，
所以 $B\left(-4,0\right),B_1\left(0,-4\right),A_2\left(3,0\right)$，
所以抛物线的解析式是 $y=\dfrac 13x^2+\dfrac 13x-4$． -
在第三象限内，抛物线上是否存在点 $Q$，使点 $Q$ 到线段 $BB_1$ 的距离为 $\dfrac{\sqrt 2}{2}$？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．标注答案存在，点 $Q$ 的坐标是 $\left(-1,-4\right)$ 或 $\left(-3,-2\right)$解析假设在第三象限的抛物线上存在点 $Q\left(x_0,y_0\right)$，使点 $Q$ 到直线 $BB_1$ 的距离为 $\dfrac{\sqrt 2}{2}$，过点 $Q$ 作 $QD\perp BB_1$ 于点 $D$，连接 $BB_1$，过 $Q$ 作 $QE\perp x$ 轴于 $E$．
因为 $S_{四边形BQB_1O}=S_{\triangle BQE}+S_{梯形EQB_1O}$，
所以 $S_{\triangle QBB_1}=S_{四边形BQB_1O}-S_{\triangle OBB_1},$
则 $S_{\triangle QBB_1}=-\dfrac 23\left(x_0+2\right)^2+\dfrac 83$．
在 $\mathrm {Rt}\triangle OBB_1$ 中，$BB_1=\sqrt{OB^2+OB_1^2}=4\sqrt 2$，
因为 $S_{\triangle QBB_1}=\dfrac 12 \times BB_1\times QD=\dfrac 12 \times 4\sqrt 2\times \dfrac{\sqrt 2}{2}=2$，
所以 $-\dfrac 23\left(x_0+2\right)^2+\dfrac 83=2$．
解得 $x_0=-1或 x_0=-3$．
当 $x_0=-1$ 时，$y_0=-4$；
当 $x_0=-3$ 时，$y_0=-2$．
因此在第三象限内，抛物线上存在点 $Q$，使点 $Q$ 到线段 $BB_1$ 的距离为 $\dfrac{\sqrt 2}{2}$，这样的点 $Q$ 的坐标是 $\left(-1,-4\right)$ 或 $\left(-3,-2\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
