题目 如图，$\triangle ABC$ 为直角三角形，$\angle ACB=90^\circ$，$AC=BC$，点 $A$、$C$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 坐标 $\left(3,m\right)$（$m>0$），线段 $AB$ 与 $y$ 轴相交于点 $D$，以 $P\left(1,0\right)$ 为顶点的抛物线过点 $B$，$D$．<br><img src="/static/images/4b3e124bf05cfddfad1433ac6dd8f854.png" class="img-responsive" /> 问题1 求点 $A$ 的坐标（用 $m$ 表示）； 答案1 点 $A$ 的坐标为 $\left(3-m,0\right)$ 解析1 由 $B\left(3,m\right)$ 可知 $OC=3$，$BC=m$，<br/>因为 $\triangle ABC$ 为等腰直角三角形．<br/>所以 $AC=BC=m,OA=m-3$，<br/>所以点 $A$ 的坐标为 $\left(3-m,0\right)$． 备注1 问题2 求出抛物线的解析式； 答案2 抛物线的解析式为 $y=x^2-2x+1$ 解析2 因为 $\angle ODA=\angle OAD=45^\circ$，<br/>所以 $OD=OA=m-3$．<br/>则点 $D$ 的坐标是 $\left(0,m-3\right)$．<br/>因为抛物线顶点为 $P\left(1,0\right)$，且过点 $B$、$D$，<br/>所以设抛物线的解析式为 $y=a\left(x-1\right)^2$．<br/>依题意得 $\begin{cases}a\left(3-1\right)^2=m,\\a\left(0-1\right)^2=m-3.\end{cases}$<br/>解得 $\begin{cases}a=1,\\m=4.\end{cases}$<br/>所以 抛物线的解析式为 $y=x^2-2x+1$． 备注2 问题3 设点 $Q$ 为抛物线上点 $P$ 至点 $B$ 之间的一动点，连接 $PQ$ 并延长，交 $BC$ 于点 $E$，连接 $BQ$ 并延长交 $AC$ 于点 $F$，证明 $FC\left(AC+EC\right)$ 的值为定值． 答案3 为定值 解析3 过点 $Q$ 作 $QM\perp AC$ 于点 $M$，过点 $Q$ 作 $QN\perp BC$ 于点 $N$，<br/>设点 $Q$ 的坐标为 $\left(x,x^2-2x+1\right)$，<br/>则 $QM=CN=\left(x-1\right)^2,MC=QN=3-x$．<br/>因为 $m=4$，所以 $BC=AC=4$．<br/>因为 $QM\parallel CE$，所以 $\triangle PQM\backsim \triangle PEC$．<br/>所以 $\dfrac{QM}{EC}=\dfrac{PM}{PC}$，<br/>即 $\dfrac{\left(x-1\right)^2}{EC}=\dfrac{x-1}{2}$，<br/>得 $EC=2\left(x-1\right)$．<br/>因为 $QN\parallel FC$，所以 $\triangle BQN\backsim \triangle BFC$．<br/>所以 $\dfrac{QN}{FC}=\dfrac{BN}{BC}$，<br/>即 $\dfrac{3-x}{FC}=\dfrac{4-\left(x-1\right)^2}{4}$，<br/>得 $FC=\dfrac{4}{x+1}$．<br/>因为 $AC=4$，<br/>所以<br/>$\begin{split}FC\left(AC+EC\right)& =\dfrac{4}{x+1}\left[4+2\left(x-1\right)\right]\\ &=\dfrac{4}{x+1}\cdot2\left(x+1\right)\\ &=8.\end{split}$<br/>所以 $FC\left(AC+EC\right)$ 的值为定值．<img src="/static/images/319e30dfbf93847e941ce3ba056a18e2.png" class="img-responsive" /> 备注3