如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x^2}+bx+c\left(a\ne 0\right)$ 与 $x$ 轴相交于 $A,B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$，直线 $y = kx + n\left( k \ne 0 \right)$ 经过 $B,C$ 两点．已知 $A\left(1,0\right),C\left(0,3\right)$，且 $BC=5$．在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$，使得以 $B,C,P$ 三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
存在，点 $P$ 的坐标为 $\left(\dfrac 52,\dfrac {19}{3}\right)$，$\left(\dfrac 52,-2\right)$，$\left(\dfrac 52,\dfrac {3+2\sqrt 6}{2}\right)$ 或 $\left(\dfrac 52,\dfrac {3-2\sqrt 6}{2}\right)$
【解析】
在 $\mathrm {Rt}\triangle BOC$ 中，$OC=3$，$BC=5$，$\angle BOC=90^\circ$，
由勾股定理得 $OB=\sqrt {BC^2-OC^2}=\sqrt {5^2-3^2}=4$．
所以点 $B\left(4,0\right)$．
由抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过点 $A\left(1,0\right)$，$B\left(4,0\right)$ 和 $C\left(0,3\right)$，
所以 $\begin{cases} a+b+c=0, \\ 16a+4b+c=0, \\ c=3.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=\dfrac 34, \\ b=-\dfrac {15}{4}, \\ c=3.\end{cases}$
所以抛物线的解析式为 $y=\dfrac 34x^2-\dfrac {15}{4}x+3$．
从而其对称轴为 $x=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac 52$．
由直线 $y=kx+n$ 经过点 $B\left(4,0\right)$ 和点 $C\left(0,3\right)$，
所以 $\begin{cases} 4k+n=0, \\ n=3.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-\dfrac 34, \\ n=3.\end{cases}$
所以直线 $BC$ 的解析式为 $y=-\dfrac 34x+3$．
从而抛物线的对称轴与直线 $BC$ 相交于点 $D$ 的坐标为 $\left(\dfrac 52,\dfrac 98\right)$．
设点 $P\left(\dfrac 52,m\right)$，抛物线的对称轴为直线 $l$，直线 $l$ 与 $x$ 轴相较于点 $E$．
① 当以点 $C$ 为直角顶点时，过点 $C$ 作 $CP_1\perp BC$ 于点 $C$ 交 $l$ 于点 $P_1$，作 $CM\perp l$ 于点 $M$．
因为 $\angle P_1CM=\angle CDM$，$\angle CMP_1=\angle DMC$，
所以 $\triangle P_1CM\backsim \triangle CDM$．
所以 $\dfrac {P_1M}{CM}=\dfrac {CM}{DM}$，即 $CM^2=P_1M\cdot DM$．
从而 $\left(\dfrac 52\right)^2=\left(m-3\right)\left(3-\dfrac 98\right)$，解得 $m=\dfrac {19}{3}$．
所以点 $P_1\left(\dfrac 52,\dfrac {19}{3}\right)$；
② 当以点 $B$ 为直角顶点时，过点 $B$ 作 $BP_2\perp BC$ 于点 $B$ 交 $l$ 于点 $P_2$．
因为 $\angle BDE=\angle P_2BE$，$\angle DEB=\angle BEP_2$，
所以 $\triangle BDE\backsim \triangle P_2BE$．
所以 $\dfrac {BE}{P_2E}=\dfrac {DE}{BE}$，即 $BE^2=DE\cdot P_2E$．
从而 $\left(4-\dfrac 52\right)^2=\dfrac 98\cdot \left(-m\right)$，解得 $m=-2$．
所以点 $P_2\left(\dfrac 52,-2\right)$；
③ 当以点 $P$ 为直角顶点时，
因为 $\angle CPM=\angle PBE$，$\angle CMP=\angle PEB$，
所以 $\triangle CMP\backsim \triangle PEB$．
所以 $\dfrac {PM}{BE}=\dfrac {CM}{PE}$．
从而 $\dfrac {|m-3|}{4-\dfrac 52} =\dfrac {\dfrac 52}{|m|}$，解得 $m_1=\dfrac {3+2\sqrt 6}{2},m_2=\dfrac {3-2\sqrt 6}{2}$．
所以点 $P_3\left(\dfrac 52,\dfrac {3+2\sqrt 6}{2}\right)$，点 $P_4\left(\dfrac 52,\dfrac {3-2\sqrt 6}{2}\right)$．
综上，使得 $\triangle BCP$ 为直角三角形的点 $P$ 的坐标为 $\left(\dfrac 52,\dfrac {19}{3}\right)$，$\left(\dfrac 52,-2\right)$，$\left(\dfrac 52,\dfrac {3+2\sqrt 6}{2}\right)$ 或 $\left(\dfrac 52,\dfrac {3-2\sqrt 6}{2}\right)$．
由勾股定理得 $OB=\sqrt {BC^2-OC^2}=\sqrt {5^2-3^2}=4$．
所以点 $B\left(4,0\right)$．
由抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过点 $A\left(1,0\right)$，$B\left(4,0\right)$ 和 $C\left(0,3\right)$，
所以 $\begin{cases} a+b+c=0, \\ 16a+4b+c=0, \\ c=3.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=\dfrac 34, \\ b=-\dfrac {15}{4}, \\ c=3.\end{cases}$
所以抛物线的解析式为 $y=\dfrac 34x^2-\dfrac {15}{4}x+3$．
从而其对称轴为 $x=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac 52$．
由直线 $y=kx+n$ 经过点 $B\left(4,0\right)$ 和点 $C\left(0,3\right)$，
所以 $\begin{cases} 4k+n=0, \\ n=3.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-\dfrac 34, \\ n=3.\end{cases}$
所以直线 $BC$ 的解析式为 $y=-\dfrac 34x+3$．
从而抛物线的对称轴与直线 $BC$ 相交于点 $D$ 的坐标为 $\left(\dfrac 52,\dfrac 98\right)$．
设点 $P\left(\dfrac 52,m\right)$，抛物线的对称轴为直线 $l$，直线 $l$ 与 $x$ 轴相较于点 $E$．① 当以点 $C$ 为直角顶点时，过点 $C$ 作 $CP_1\perp BC$ 于点 $C$ 交 $l$ 于点 $P_1$，作 $CM\perp l$ 于点 $M$．
因为 $\angle P_1CM=\angle CDM$，$\angle CMP_1=\angle DMC$，
所以 $\triangle P_1CM\backsim \triangle CDM$．
所以 $\dfrac {P_1M}{CM}=\dfrac {CM}{DM}$，即 $CM^2=P_1M\cdot DM$．
从而 $\left(\dfrac 52\right)^2=\left(m-3\right)\left(3-\dfrac 98\right)$，解得 $m=\dfrac {19}{3}$．
所以点 $P_1\left(\dfrac 52,\dfrac {19}{3}\right)$；
② 当以点 $B$ 为直角顶点时，过点 $B$ 作 $BP_2\perp BC$ 于点 $B$ 交 $l$ 于点 $P_2$．
因为 $\angle BDE=\angle P_2BE$，$\angle DEB=\angle BEP_2$，
所以 $\triangle BDE\backsim \triangle P_2BE$．
所以 $\dfrac {BE}{P_2E}=\dfrac {DE}{BE}$，即 $BE^2=DE\cdot P_2E$．
从而 $\left(4-\dfrac 52\right)^2=\dfrac 98\cdot \left(-m\right)$，解得 $m=-2$．
所以点 $P_2\left(\dfrac 52,-2\right)$；
③ 当以点 $P$ 为直角顶点时，
因为 $\angle CPM=\angle PBE$，$\angle CMP=\angle PEB$，
所以 $\triangle CMP\backsim \triangle PEB$．
所以 $\dfrac {PM}{BE}=\dfrac {CM}{PE}$．
从而 $\dfrac {|m-3|}{4-\dfrac 52} =\dfrac {\dfrac 52}{|m|}$，解得 $m_1=\dfrac {3+2\sqrt 6}{2},m_2=\dfrac {3-2\sqrt 6}{2}$．
所以点 $P_3\left(\dfrac 52,\dfrac {3+2\sqrt 6}{2}\right)$，点 $P_4\left(\dfrac 52,\dfrac {3-2\sqrt 6}{2}\right)$．
综上，使得 $\triangle BCP$ 为直角三角形的点 $P$ 的坐标为 $\left(\dfrac 52,\dfrac {19}{3}\right)$，$\left(\dfrac 52,-2\right)$，$\left(\dfrac 52,\dfrac {3+2\sqrt 6}{2}\right)$ 或 $\left(\dfrac 52,\dfrac {3-2\sqrt 6}{2}\right)$．
答案
解析
备注
