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设函数 $f(x)=ax^2+bx+c$（$a>b>c$）的图象经过点 $A(m_1,f(m_1))$，$B(m_2,f(m_2))$，$f(1)=0$．若 $a^2+(f(m_1)+f(m_2))a+f(m_1)\cdot f(m_2)=0$，则 \((\qquad)\)
A: $b\geqslant 0$
B: $b<0$
C: $3a+c\leqslant 0$
D: $3a-c<0$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    二次函数
  • 方法
    >
    数形结合
    >
    不等式(组)的规划
【答案】
A
【解析】
由 $f(1)=0$，可得 $c=-a-b$，因此\[f(x)=ax^2+bx-a-b,\]又\[(a+f(m_1))(a+f(m_2))=0,\]于是 $f(m_1)=-a$ 或 $f(m_2)=-a$，因此关于 $x$ 的方程\[ax^2+bx-a-b=-a\]有实数解，也即\[\Delta=b^2+4ab=b(b+4a)\geqslant 0.\]又 $a>b>c$，于是\[a>b>-a-b,\]从而可得约束条件为\[\begin{cases} b(b+4a)\geqslant 0,\\ -\dfrac a2<b<a,\end{cases}\]如图．选项C等价于 $2a-b\leqslant 0$，选项D等价于 $4a+b<0$，均错误．
题目 答案 解析 备注
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