如图，直线 $ y=x+2 $ 与抛物线 $y=ax^2+bx+6\left(a\neq 0\right)$ 相交于 $A\left(\dfrac 12,\dfrac 52\right)$ 和 $B\left(4,m\right)$，点 $P$ 是线段 $AB$ 上异于 $A,B$ 的动点，过点 $P$ 作 $PC\perp x$ 轴于点 $D$，交抛物线于点 $C$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
是否存在这样的 $P$ 点，使线段 $PC$ 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；标注答案存在，线段 $PC$ 最大为 $\dfrac{49}{8}$解析因为点 $B\left(4,m\right)$ 在直线 $y=x+2$ 上，
所以 $m=4+2=6$，即点 $B\left(4,6\right)$．
因为点 $A\left(\dfrac 12,\dfrac 52\right)$，点 $B\left(4,6\right)$ 在抛物线 $y=ax^2+bx+6$ 上，
所以 $\begin{cases}
\left(\dfrac 12\right)^2a+\dfrac 12b+6=\dfrac 52,\\4^2a+4b+6=6,
\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}a=2,\\b=-8.
\end{cases} $
所以抛物线的解析式为 $y=2x^2-8x+6$．
设动点 $P$ 的坐标为 $\left(n,n+2\right)$，则 $C$ 点的坐标为 $\left(n,2n^2-8n+6\right)$，
$\begin{split}\text{所以}PC&=\left(n+2\right)-\left(2n^2-8n+6\right)\\ &=-2n^2+9n-4\\ &=2\left(n-\dfrac 94\right)^2+\dfrac{49}{8},\end{split} $
因为 $PC>0$，
所以当 $n=\dfrac 94$ 时，线段 $PC$ 最大为 $\dfrac{49}{8}$． -
求 $\triangle PAC$ 为直角三角形时点 $P$ 的坐标．标注答案点 $P$ 的坐标为 $\left(3,5\right)$ 或 $\left(\dfrac 72,\dfrac{11}{2}\right)$解析显然 $\angle APC\ne 90^\circ $，所以分为两种情况：
① 当 $\angle PAC=90^\circ $ 时．
设直线 $AC$ 的解析式为 $y=-x+b$，
把 $A\left(\dfrac 12,\dfrac 52\right)$ 代入，得 $\dfrac 52=-\dfrac 12+b$，解得 $b=3$．
所以直线 $AC$ 的解析式为 $y=-x+3$，
由 $-x+3=2x^2-8x+6$，得 $x_1=3,x_2=\dfrac 12$．
所以此时点 $C$ 的坐标为 $(3,0)$，点 $P$ 的坐标为 $\left(3,5\right)$．
② 当 $\angle PCA=90^\circ $ 时．
由 $A\left(\dfrac 12,\dfrac 52\right)$ 知，点 $C$ 的纵坐标为 $y=\dfrac 52$．
由 $2x^2-8x+6=\dfrac 52$，得 $x_1=\dfrac 12,x_2=\dfrac 72$．
所以此时点 $C$ 的坐标为 $\left(\dfrac 72,\dfrac 52\right)$，点 $P$ 的坐标为 $\left(\dfrac 72,\dfrac{11}2\right)$．
综上可得，满足条件的点 $P$ 的坐标为 $\left(3,5\right)$ 或 $\left(\dfrac 72,\dfrac{11}{2}\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
