已知 $a,b,c\in\mathbb R^+$，满足 $abc(a+b+c)=1$．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
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求 $S=(a+c)(b+c)$ 的最小值；标注答案$2$解析因为$$\begin{split}(a+c)(b+c)&=ab+(a+b+c)c\\&=ab+\dfrac{1}{ab}\\ &\geqslant2\sqrt{ab\cdot\dfrac{1}{ab}}=2,\end{split}$$等号成立的条件是 $ab=1$．
因此，$S$ 的最小值为 $2$． -
当 $S$ 取最小值时，求 $c$ 的最大值．标注答案$\sqrt2-1$解析当 $S$ 取最小值时，$ab=1$，从而$$c(a+b+c)=1,$$即$$c^2+(a+b)c-1=0.$$令 $t=a+b$，则$$t\geqslant2\sqrt{ab}=2,$$从而$$c=\dfrac{-t+\sqrt{t^2+4}}{2}=\dfrac{2}{\sqrt{t^2+4}+t},$$故其在 $[2,+\infty)$ 上单调递减．
因此 $t=2$ 时，$c$ 有最大值为 $\sqrt2-1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
