直线 $y=kx+1$ 与双曲线 $x^2-y^2=1$ 的左支交于 $A,B$ 两点，直线 $l$ 经过点 $(-2,0)$ 和 $AB$ 的中点，求直线 $l$ 在 $y$ 轴的截距 $b$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
$(-1,2-\sqrt2)$
【解析】
将直线 $y=kx+1$ 与双曲线 $x^2-y^2=1$ 方联立消去 $y$，得$$(k^2-1)x^2+2kx+2=0\qquad\cdots\cdots\text{ ① }$$由题设知方程 $\text{ ① }$ 有两负根，设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，因此$$\begin{cases}\Delta=4k^2-8(k^2-1)>0,\\x_1+x_2=-\dfrac{2k}{k^2-1}<0,\\ x_1x_2=\dfrac{2}{k^2-1}>0,\end{cases}$$解得 $1<k<\sqrt2$．因此$$y_1+y_2=k(x_1+x_2)+2=-\dfrac{2}{k^2-1},$$故 $AB$ 的中点为 $\left(-\dfrac{k}{k^2-1},-\dfrac{1}{k^2-1}\right)$，所以直线 $l$ 的方程为$$y=-\dfrac{1}{2k^2-k-2}(x+2),$$其在 $y$ 轴的截距 $b=-\dfrac{2}{2k^2-k-2}$．
当 $1<k<\sqrt2$ 时，$$2k^2-k-2=2\left(k-\dfrac14\right)^2-\dfrac{17}{8},$$从而 $b$ 的取值范围是 $(-1,2-\sqrt2)$．
当 $1<k<\sqrt2$ 时，$$2k^2-k-2=2\left(k-\dfrac14\right)^2-\dfrac{17}{8},$$从而 $b$ 的取值范围是 $(-1,2-\sqrt2)$．
答案
解析
备注
