如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $y=kx-3$ 与双曲线 $y=\dfrac 4x$ 的两个交点为 $A,B$，其中 $A(-1,a)$．若点 $M$ 为 $x$ 轴上的一个动点，且 $\triangle AMB$ 为直角三角形，求满足条件的点 $M$ 的坐标．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
满足条件的点 $M$ 的坐标为 $(-5,0),(5,0),\left(\dfrac{3-\sqrt {41}}{2},0\right)$ 或 $\left(\dfrac{3+\sqrt {41}}{2},0\right)$
【解析】
将点 $A(-1,a)$ 坐标代入双曲线解析式，得 $a=-4$，即点 $A(-1,-4)$．
再将点 $A(-1,-4)$ 坐标代入直线解析式，得 $k=1$，即 $y=x-3$．
联立方程组 $\begin{cases}y=x-3,\\ y=\dfrac 4x,\end{cases}$ 可得点 $B(4,1)$．
所以 $AB^2=(-1-4)^2+(-4-1)^2=50$．
设点 $M$ 的坐标为 $(m,0)$，则
$AM^2=(-1-m)^2+(-4)^2=m^2+2m+17$，
$BM^2=(4-m)^2+1=m^2-8m+17$．
① 当 $\angle BAM=90^\circ$ 时，有 $AM^2+AB^2=BM^2$，
即 $m^2+2m+17+50=m^2-8m+17$，解得 $m=-5$．
此时点 $M(-5,0)$；
② 当 $\angle ABM=90^\circ$ 时，有 $BM^2+AB^2=AM^2$，
即 $m^2-8m+17+50=m^2+2m+17$，解得 $m=5$．
此时点 $M(5,0)$；
③ 当 $\angle AMB=90^\circ$ 时，有 $AM^2+BM^2=AB^2$，
即 $m^2+2m+17+m^2-8m+17=50$，解得 $m=\dfrac{3\pm\sqrt {41}}{2}$．
此时点 $M\left(\dfrac{3-\sqrt {41}}{2},0\right)$ 或 $M\left(\dfrac{3+\sqrt {41}}{2},0\right)$．
综上可得，满足条件的点 $M$ 的坐标为 $(-5,0),(5,0),\left(\dfrac{3-\sqrt {41}}{2},0\right)$ 或 $\left(\dfrac{3+\sqrt {41}}{2},0\right)$．
再将点 $A(-1,-4)$ 坐标代入直线解析式，得 $k=1$，即 $y=x-3$．
联立方程组 $\begin{cases}y=x-3,\\ y=\dfrac 4x,\end{cases}$ 可得点 $B(4,1)$．
所以 $AB^2=(-1-4)^2+(-4-1)^2=50$．
设点 $M$ 的坐标为 $(m,0)$，则
$AM^2=(-1-m)^2+(-4)^2=m^2+2m+17$，
$BM^2=(4-m)^2+1=m^2-8m+17$．
① 当 $\angle BAM=90^\circ$ 时，有 $AM^2+AB^2=BM^2$，
即 $m^2+2m+17+50=m^2-8m+17$，解得 $m=-5$．
此时点 $M(-5,0)$；
② 当 $\angle ABM=90^\circ$ 时，有 $BM^2+AB^2=AM^2$，
即 $m^2-8m+17+50=m^2+2m+17$，解得 $m=5$．
此时点 $M(5,0)$；
③ 当 $\angle AMB=90^\circ$ 时，有 $AM^2+BM^2=AB^2$，
即 $m^2+2m+17+m^2-8m+17=50$，解得 $m=\dfrac{3\pm\sqrt {41}}{2}$．
此时点 $M\left(\dfrac{3-\sqrt {41}}{2},0\right)$ 或 $M\left(\dfrac{3+\sqrt {41}}{2},0\right)$．
综上可得，满足条件的点 $M$ 的坐标为 $(-5,0),(5,0),\left(\dfrac{3-\sqrt {41}}{2},0\right)$ 或 $\left(\dfrac{3+\sqrt {41}}{2},0\right)$．
答案
解析
备注
