在平面直角坐标系 $xOy$ 中，对于点 $P(x,y)$，如果点 $Q(x,y')$ 的纵坐标满足 $y'=\begin{cases}x-y(当x\geqslant y时)\\ y-x(当x<y时) \end{cases}$ 那么称点 $Q$ 为点 $P$ 的“关联点”．如果点 $M(m,n)$ 的“关联点”$N$ 在函数 $y=2x^2$ 的图象上，当 $0\leqslant m\leqslant 2$ 时，求线段 $MN$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当 $m\geqslant n$ 时，线段 $MN$ 的最大值是 $14$，当 $m<n$ 时，线段 $MN$ 的最大值是 $2$
【解析】
点 $M(m,n)$ 的关联点是点 $N$，由关联点定义可知
第一种情况：当 $m\geqslant n$ 时，点 $N$ 的坐标为 $(m,m-n)$，
因为点 $N$ 在函数 $y=2x^2$ 的图象上，
所以 $m-n=2m^2$，$n=-2m^2+m$，
所以 $MN=|y_M-y_N|=|-4m^2+m|$．
① 当 $0\leqslant m \leqslant \dfrac 14$ 时，$-4m^2+m>0$，
$MN=-4m^2+m=-4(m-\dfrac18)^2+\dfrac{1}{16}$．
当 $m=\dfrac 18$ 时，线段 $MN$ 的最大值是 $\dfrac{1}{16}$；
② 当 $\dfrac 14<m\leqslant 2$ 时，$-4m^2+m<0$，
$MN=4m^2-m=4(m-\dfrac 18)^2-\dfrac{1}{16}$，
所以当 $m=2$ 时，线段 $MN$ 的最大值是 $14$．
综合 ① 与 ②，$MN$ 的最大值是 $14$；
第二种情况：当 $m<n$ 时，点 $N$ 的坐标为 $(m,n-m)$，
因为点 $N$ 在函数 $y=2x^2$ 的图象上，
所以 $n-m=2m^2$ 即 $n=2m^2+m$，
所以 $y_M=2m^2+m$，$y_N=2m^2$，
所以 $MN=|y_M-y_N|=|m|$．
因为 $0\leqslant m \leqslant 2$，
所以 $MN=m$，
所以当 $m<n$ 时，线段 $MN$ 的最大值是 $2$，
综上所述，当 $m\geqslant n$ 时，线段 $MN$ 的最大值是 $14$，当 $m<n$ 时，线段 $MN$ 的最大值是 $2$．
第一种情况：当 $m\geqslant n$ 时，点 $N$ 的坐标为 $(m,m-n)$，
因为点 $N$ 在函数 $y=2x^2$ 的图象上，
所以 $m-n=2m^2$，$n=-2m^2+m$，
所以 $MN=|y_M-y_N|=|-4m^2+m|$．
① 当 $0\leqslant m \leqslant \dfrac 14$ 时，$-4m^2+m>0$，
$MN=-4m^2+m=-4(m-\dfrac18)^2+\dfrac{1}{16}$．
当 $m=\dfrac 18$ 时，线段 $MN$ 的最大值是 $\dfrac{1}{16}$；
② 当 $\dfrac 14<m\leqslant 2$ 时，$-4m^2+m<0$，
$MN=4m^2-m=4(m-\dfrac 18)^2-\dfrac{1}{16}$，
所以当 $m=2$ 时，线段 $MN$ 的最大值是 $14$．
综合 ① 与 ②，$MN$ 的最大值是 $14$；
第二种情况：当 $m<n$ 时，点 $N$ 的坐标为 $(m,n-m)$，
因为点 $N$ 在函数 $y=2x^2$ 的图象上，
所以 $n-m=2m^2$ 即 $n=2m^2+m$，
所以 $y_M=2m^2+m$，$y_N=2m^2$，
所以 $MN=|y_M-y_N|=|m|$．
因为 $0\leqslant m \leqslant 2$，
所以 $MN=m$，
所以当 $m<n$ 时，线段 $MN$ 的最大值是 $2$，
综上所述，当 $m\geqslant n$ 时，线段 $MN$ 的最大值是 $14$，当 $m<n$ 时，线段 $MN$ 的最大值是 $2$．
答案
解析
备注
