抛物线 $y=\dfrac 14x^2-\dfrac 32x+2$ 与 $x$ 轴交于 $A$，$B$ 两点（$OA<OB$），与 $y$ 轴交于点 $C$．点 $P$ 从点 $O$ 出发，以每秒 $2$ 个单位长度的速度向点 $B$ 运动，同时点 $E$ 也从点 $O$ 出发，以每秒 $1$ 个单位长度的速度向点 $C$ 运动，设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒（$0<t<2$）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
过点 $E$ 作 $x$ 轴的平行线，与 $BC$ 相交于点 $D$（如图所示），当 $t$ 为何值时，$\dfrac{1}{OP}+\dfrac{1}{ED}$ 的值最小，求出这个最小值并写出此时点 $E,P$ 的坐标；标注答案$\dfrac{1}{OP}+\dfrac{1}{ED}$ 有最小值 $1$，此时点 $
E\left(0,1\right)$，点 $P\left(2,0\right)$解析在抛物线解析式中，令 $y=0$，即 $\dfrac 14x^2-\dfrac 32x+2=0$，
解得 $x_1=2$，$x_2=4$，
又 $OA<OB$，所以点 $A\left(2.0\right)$，点 $B\left(4,0\right)$．
在抛物线解析式中，令 $x=0$，得 $y=2$，
所以 $C\left(0,2\right)$．
由题意得 $OP=2t$，$OE=t$，
因为 $ DE\parallel OB$，
所以 $\triangle CDE\backsim \triangle
CBO$，
所以 $\dfrac{CE}{CO}=\dfrac{ED}{OB}$，即 $\dfrac{2-t}{2}=\dfrac{DE}{4}$，
所以 $DE=4-2t$，
所以 $\dfrac{1}{OP}+\dfrac{1}{ED}=\dfrac{1}{2t}+\dfrac{1}{4-2t}=\dfrac{1}{-t^2+2t}=\dfrac{1}{1-\left(t-1\right)^2}$．
因为 $ 0<t<2$，$1-\left(t-1\right)^2$ 始终为正数，且 $t=1$ 时，$1-\left(t-1\right)^2$ 有最大值 $1$，
所以 $t=1$ 时，$\dfrac{1}{1-\left(t-1\right)^2}$ 有最小值 $1$，
即 $t=1$ 时，$\dfrac{1}{OP}+\dfrac{1}{ED}$ 有最小值 $1$，此时 $OP=2$，$OE=1$．
所以点 $
E\left(0,1\right)$，点 $P\left(2,0\right)$． -
在满足第1问的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点 $F$，使 $\triangle EFP$ 为直角三角形？若存在，请直接写出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．标注答案存在，点 $F$ 的坐标为 $\left(3,2\right)$ 或 $\left(3,7\right)$解析因为抛物线 $y=\dfrac 14x^2+\dfrac 32x+2$ 的对称轴方程为 $x=3$．
设点 $F\left(3,m\right)$，所以 $EP^2=5$，$PF^2=\left(3-2\right)^2+m^2$，$EF^2=\left(m-1\right)^2+3^2$．
① 当 $\angle EPF=90^\circ$ 时，$PE^2+FP^2=EF^2$，
即 $5+\left(3-2\right)^2+m^2=\left(m-1\right)^2+3^2$，解得 $m=2$；
② 当 $\angle EFP=90^\circ$ 时，$EF^2+FP^2=PE^2$，
即 $\left(m-1\right)^2+3^2+\left(3-2\right)^2+m^2=5$，解得 $m=0$ 或 $m=1$，不合题意舍去．
所以当 $\angle EFP=90^\circ$ 时，这种情况不存在；
③ 当 $\angle PEF=90^\circ$ 时，$EF^2+PE^2=PF^2$，
即 $\left(m-1\right)^2+3^2+5=\left(3-2\right)^2+m^2$，解得 $m=7$．
综上所述，点 $F$ 的坐标为 $\left(3,2\right)$ 或 $\left(3,7\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
