如图所示，已知平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 交于直线 $l$，$\alpha\perp \beta$，$A,B$ 是直线 $l$ 上的两点，$C,D$ 是平面 $\beta$ 内的两点，且 $DA\perp l$，$CB\perp l$，$DA=4$，$AB=6$，$CB=8$．$P$ 是平面 $\alpha$ 上的一动点，且有 $\angle APB=\angle BPC$，则四棱锥 $P-ABCD$ 的体积的最大值是 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
根据题意，在直角三角形 $DAP$ 和 $CBP$ 中，由 $\angle APB=\angle BPC$，有\[\dfrac{AD}{AP}=\dfrac{BC}{BP},\]于是\[\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{AD}{BC}=\dfrac 12,\]又 $AB=6$，于是根据阿波罗尼斯圆的定义，点 $P$ 在 $\alpha$ 内的轨迹是以 $A,B$ 为定点，$\lambda=\dfrac 12$ 的圆，设其圆心为 $O$，半径为 $r$，则\[\dfrac{r}{OA}=\dfrac{OB}{r}=\dfrac 12,\]于是\[AB=OA-OB=2r-\dfrac r2=6,\]解得\[r=4,\]于是 $P-ABCD$ 的体积的最大值为\[\dfrac 13\cdot ABCD\cdot r=\dfrac 13 \cdot 36\cdot 4=48.\]
题目
答案
解析
备注
