阅读理解：
抛物线 $y=\dfrac 14x^2$ 上任意一点到点 $\left(0,1\right)$ 的距离与到直线 $y=-1$ 的距离相等．你可以利用这一性质解决问题．
问题解决：
如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=kx+1$ 与 $y$ 轴交于点 $C$，与函数 $y=\dfrac 14x^2$ 的图象交于 $A,B$ 两点，分别过 $A,B$ 两点作直线 $y=-1$ 的垂线，交于 $E,F$ 两点．在 $\triangle PEF$ 中，$M$ 为 $EF$ 中点，$P$ 为动点．
抛物线 $y=\dfrac 14x^2$ 上任意一点到点 $\left(0,1\right)$ 的距离与到直线 $y=-1$ 的距离相等．你可以利用这一性质解决问题．
问题解决：
如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=kx+1$ 与 $y$ 轴交于点 $C$，与函数 $y=\dfrac 14x^2$ 的图象交于 $A,B$ 两点，分别过 $A,B$ 两点作直线 $y=-1$ 的垂线，交于 $E,F$ 两点．在 $\triangle PEF$ 中，$M$ 为 $EF$ 中点，$P$ 为动点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求证：$PE^2+PF^2=2\left(PM^2+EM^2\right)$；标注答案略解析过点 $P$ 作 $PH\perp EF$ 于点 $H$．
① 如图，当点 $H$ 在线段 $EF$ 上时．
因为 $M$ 是 $EF$ 中点，
所以 $EM=FM=\dfrac 12EF$．
由勾股定理得
$\begin{split}&PE^2+PF^2-2PM^2\\=&PH^2+EH^2+PH^2+HF^2-2PM^2\\=&2PH^2+EH^2+HF^2-2\left(PH^2+MH^2\right)\\=&EH^2-MH^2+HF^2-MH^2\\=&\left(EH+MH\right)\left(EH-MH\right)\left(EH-MH\right)-\left(HF+MH\right)\left(HF-MH\right)\\=&EM\left(EH+MH\right)+MF\left(HF-MH\right)\\=&EM\left(EH+MH\right)+EM\left(HF-MH\right)\\=&EM\left(EH+MH+HF-MH\right)\left(HF-MH\right)\\=&EM\cdot EF \\=&2EM^2, \end{split}$
所以 $ PE^2+PF^2=2\left(PM^2+EM^2\right)$．
② 如图，当点 $H$ 在线段 $EF$ 外时．
同理可得 $PE^2+PF^2=2\left(PM^2+EM^2\right)$．
综上可得，当点 $H$ 在直线 $EF$ 上时，都有 $PE^2+PF^2=2\left(PM^2+EM^2\right)$． -
已知 $PE=PF=3$，以 $EF$ 为一条对角线作平行四边形 $CEDF$，若 $1<PD<2$，试求 $CP$ 的取值范围．标注答案$\sqrt{14}<PC<\sqrt{17}$解析根据题意得 $AC=AE$．
所以 $\angle ACE=\angle AEC$．
因为 $ AE\perp EF$，即 $AE\parallel y$ 轴，
所以 $\angle ECO=\angle AEC$，
所以 $\angle ACE=\angle ECO$．
同理可得 $\angle BCF=\angle FCO$，
所以
$\begin{split} \angle ECF&=\angle ECO+\angle FCO
\\&=\dfrac 12\left(\angle ACO+\angle BCO\right)
\\&=\dfrac 12\times 180^\circ=90^\circ.\end{split}$
如图，连接 $CD,PM$．
因为在平行四边形 $CEDF$ 中，$\angle ECF=90^\circ$，
所以平行四边形 $CEDF$ 是矩形，
所以 $ EF=CD$．
因为点 $M$ 为 $EF$ 中点，
所以 $ EM=CM$．
在 $\triangle PEF$ 中，$PE^2+PF^2=2\left(PM^2+EM^2\right)$．
在 $\triangle PCD$ 中，$PC^2+PD^2=2\left(PM^2+CM^2\right)$．
因为 $EM=CM$，$PE=PF=3$，
所以 $PC^2+PD^2=PE^2+PF^2=3^2+3^2=18$．
因为 $ 1<PD<2$，
所以 $1<PD^2<4$，
所以 $ 14<PC^2<17$．
又 $PC>0$，
所以 $\sqrt{14}<PC<\sqrt{17}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
