题目 如图，抛物线 $ y=x^{2}+\dfrac{9}{2}x-3 $ 与直线 $y=\dfrac{1}{ 2}x-3$ 交于 $A,B$ 两点，其中点 $A$ 在 $y$ 轴上，点 $B$ 坐标为 $\left(-4,-5\right)$，点 $P$ 为 $y$ 轴左侧的抛物线上一动点，过点 $P$ 作 $PC\perp x$ 轴于点 $C$，交 $AB$ 于点 $D$．<br><img src="/static/images/2b9f20d4e7d90b31b67915ad996e2835.png" class="img-responsive" /> 问题1 以 $O,A,P,D$ 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由． 答案1 存在，点 $P$ 的坐标为 $\left(-1,-\dfrac{13}{2}\right),\left(-3,-\dfrac{15}{2}\right)$ 或 $\left(-2-\sqrt{7},-1-\dfrac{\sqrt{7}}{2}\right)$ 解析1 设点 $P$ 的坐标为 $\left(a,a^{2}+\dfrac{9}{2}a-3\right)\left(a<0\right)$，则点 $D$ 的坐标为 $\left(a,\dfrac{1}{2}a-3\right)$，<br/>所以 $PD=\left|a^{2}+4a\right|$．<br/>若以 $O,A,P,D$ 为顶点的四边形是平行四边形，而 $PD\parallel AO$，<br/>所以 $PD=OA=3$，即 $\left|a^{2}+4a\right|=3$．<br/>① 当 $a^{2}+4a=3$ 时，解得 $a_{1}=-2-\sqrt{7}$，$a_{2}=-2+\sqrt{7}$（舍去）<br/>② 当 $a^{2}+4a=-3$ 时，解得 $a_{1}=-1$，$a_{2}=-3$．<br/>所以点 $P$ 的坐标为 $\left(-1,-\dfrac{13}{2}\right),\left(-3,-\dfrac{15}{2}\right)$ 或 $\left(-2-\sqrt{7},-1-\dfrac{\sqrt{7}}{2}\right)$． 备注1 问题2 当点 $P$ 运动到直线 $AB$ 下方某一处时，过点 $P$ 作 $PM\perp AB$，垂足为 $M$，连接 $PA$ 使 $\triangle PAM$ 为等腰直角三角形，请直接写出此时点 $P$ 的坐标． 答案2 点 $P$ 的坐标为 $\left(-\dfrac{3}{2},-\dfrac{15}{2}\right)$ 解析2 如图，过 $M$ 作 $y$ 轴的平行线 $EF$，过点 $A,P$ 作 $x$ 轴的平行线，分别交 $EF$ 于点 $E,F$．<img src="/static/images/72881e1c171116f860b8eddf9783bdfe.png" class="img-responsive" />若 $\triangle PAM$ 为等腰直角三角形，则 $MA=MP$，<br/>所以 $\triangle AEM\cong \triangle MFP$，<br/>所以 $AE=MF$，$ME=PF$．<br/>设点 $M$ 的坐标为 $\left(m,\dfrac 12m-3\right)$，点 $P$ 的坐标为 $\left(n,n^{2}+\dfrac{9}{2}n-3\right)\left(-4<n<0\right)$，<br/>则 $AE=-m$，$ME=-3-\left(\dfrac 12m-3\right)=-\dfrac 12m$，<br/>$MF=\dfrac 12m-3-\left(n^{2}+\dfrac{9}{2}n-3\right)=\dfrac 12m-n^2-\dfrac 92n$，$PF=n-m$．<br/>从而 $\begin{cases}\dfrac 12m-n^2-\dfrac 92n=-m,\\-\dfrac 12m=n-m,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=-3,\\n=-\dfrac 32.\end{cases}$<br/>所以点 $P$ 的坐标为 $\left(-\dfrac{3}{2},-\dfrac{15}{2}\right)$． 备注2