如图，已知抛物线 $y= ax^2 +bx +c$ 的顶点 $ D $ 的坐标为 $\left(1, - \dfrac{9}{2}\right)$，且与 $ x $ 轴交于 $A$，$B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，$ A $ 点的坐标为 $\left(4,0\right)$．$P$ 点是抛物线上的一个动点，且横坐标为 $ m $．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
若动点 $ P $ 满足 $ \angle PAO $ 不大于 $45^\circ$，求 $P$ 点的横坐标 $m$ 的取值范围；标注答案$P$ 点的横坐标的取值范围是 $-4\leqslant x\leqslant 0$解析由 $A,B$ 点的函数值相等，可得 $A,B$ 关于对称轴对称，
所以 $A(4,0)$，对称轴 $x=1$，得 $B(-2,0)$．
将 $A,B,D$ 点的坐标代入解析式得
$\begin{cases}4a-2b+c=0,\\16a+4b+c=0,\\a+b+c=0.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=\dfrac 12,\\b=-1,\\c=-4.\end{cases}$
抛物线所对应的二次函数的表达式为 $y=\dfrac 12x^2-x+4$．
如图，作点 $C$ 关于原点的对称点 $M$，
可得 $OC=OM=OA=4$，$\angle OAC=\angle MAO=45^\circ$．
因为 $AP$ 在射线 $AC$ 与 $AM$ 之间，所以 $\angle PAO<45^\circ$．
直线 $AM$ 的解析式为 $y=-x+4$，
联立 $AM$ 与抛物线得 $\begin{cases}y=-x+4,\\ y=\dfrac 12x^2-x-4.\end{cases}$
解得 $x=-4$ 或 $x=4$．
因为 $E$ 点的横坐标是 $-4$，$C$ 点的横坐标是 $0$，
所以 $P$ 点的横坐标的取值范围是 $-4\leqslant x\leqslant 0$． -
当 $P$ 点的横坐标 $m<0$ 时，过 $p$ 点作 $y$ 轴的垂线 $PQ$，垂足为 $ Q $．问：是否存在 $P$ 点，使 $\angle QPO=\angle BCO$？若存在，请求出 $P$ 点的坐标；若不存在，请说明理由．标注答案存在，满足条件的点 $P\left(\dfrac{1-\sqrt{33}}{2},\dfrac{\sqrt{33}-1}{4}\right)$ 或 $P\left(\dfrac{3-\sqrt{41}}{2},\dfrac{3-\sqrt {41}}{4}\right)$解析存在 $P$ 点，使 $\angle QPO=\angle BCO$，如图．
设 $P(m,\dfrac 12m^2-m-4)$，
① 当点 $P$ 在第二象限时，
由 $\angle QPO=\angle BCO,\angle PQO=\angle CBO=90^\circ$，
所以 $\triangle PQO\backsim \triangle COB$，
所以 $\dfrac{PQ}{CO}=\dfrac{OQ}{OB}$，即 $\dfrac{-m}{4}=\dfrac{\dfrac 12m^3-m-4}{2}$，
化简得 $m^2-m-8=0$，
解得 $m=\dfrac{1-\sqrt{33}}{2},m=\dfrac{1+\sqrt {33}}{2}$（不符合题意舍去）
所以 $P$ 点坐标为 $\left(\dfrac{1-\sqrt{33}}{2},\dfrac{\sqrt{33}-1}{4}\right)$；
② 当点 $P$ 在第三象限时，同理可得点 $P$ 为 $\left(m,\dfrac 12m\right)$，
代入 $y=\dfrac 12x^2-x-4$，得 $\dfrac 12m=\dfrac 12m^2-m-4$，解得 $m=\dfrac{3\pm \sqrt {41}}{2}$，
因为 $m<0$，所以 $P\left(\dfrac{3-\sqrt{41}}{2},\dfrac{3-\sqrt {41}}{4}\right)$，
满足条件的点 $P\left(\dfrac{1-\sqrt{33}}{2},\dfrac{\sqrt{33}-1}{4}\right)$ 或 $P\left(\dfrac{3-\sqrt{41}}{2},\dfrac{3-\sqrt {41}}{4}\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
