如图，抛物线 $y=-\dfrac 12 x^2+\dfrac 32 x+2$ 与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$，点 $D$ 与点 $C$ 关于 $x$ 轴对称，点 $P$ 是 $x$ 轴上的一个动点．设点 $P$ 的坐标为 $\left(m, 0\right)$，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ 交抛物线于点 $Q$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
当点 $P$ 在线段 $OB$ 上运动时，直线 $l$ 交 $BD$ 于点 $M$，试探究 $m$ 为何值时，四边形 $CQMD$ 是平行四边形；标注答案$m=2$ 时，四边形 $CQMD$ 为平行四边形解析因为 $y=-\dfrac 12 x^2+\dfrac 32 x+2=-\dfrac 12(x-4)(x+1)$，
所以点 $A\left(-1,0\right)$，$B\left(4,0\right)$，点 $C\left(0,2\right)$．
因为点 $D$ 与点 $C$ 关于 $x$ 轴对称，所以点 $D\left(0,-2\right)$．
从而可得直线 $BD$ 解析式为 $y=\dfrac 12 x-2$．
若四边形 $CQMD$ 为平行四边形，而 $CD\parallel MQ$，
所以 $QM=CD=4$．
由点 $P\left(m,0\right)$，可得点 $M\left(m,m-2\right)$，点 $Q\left(-\dfrac 12 m^2+\dfrac 32 m+2\right)$，
所以 $QM=\left(-\dfrac 1 2 m^2+\dfrac 3 2 m+2\right)-\left(\dfrac 1 2 m-2\right)=-\dfrac 1 2 m^2+m+4=4$，
解得 $m_1=0$（舍去），$m_2=2$． -
在点 $P$ 的运动过程中，是否存在点 $Q$，使 $\triangle BDQ$ 是以 $BD$ 为直角边的直角三角形？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．标注答案点 $Q$ 的坐标为 $\left(3,2\right)$，$ \left(-1,0\right) $，$\left(8,-18\right)$解析设点 $Q$ 的坐标为 $\left(m,-\dfrac 1 2 m^2+\dfrac 3 2 m+2\right)$，
则 $BQ^2=\left(m-4\right)^2+\left(-\dfrac 1 2 m^2+\dfrac 3 2 m+2\right)^2$，
$BQ^2=m^2+\left[\left(-\dfrac 1 2 m^2+\dfrac 3 2 m+2\right)+2\right]^2$，$BD^2=20$．
① 当以点 $B$ 为直角顶点时，则有 $DQ^2=BQ^2+BD^2$．
即 $m^2+\left[\left(-\dfrac 1 2 m^2+\dfrac 3 2 m+2\right)+2\right]^2=\left(m-4\right)^2+\left(-\dfrac 1 2 m^2+\dfrac 3 2 m+2\right)^2+20$，
解得 $m_1=3$，$m_2=4$（舍去）．
所以点 $Q$ 的坐标为 $\left(3,2\right)$．
② 当以 $D$ 点为直角顶点时，则有 $DQ^2=DQ^2+BD^2$．
即 $\left(m-4\right)^2+\left(-\dfrac 1 2 m^2+\dfrac 3 2 m+2\right)^2=m^2+\left[\left(-\dfrac 1 2 m^2+\dfrac 3 2 m+2\right)+2\right]^2+20$，
解得 $m_1=-1$，$m_2=8$．
所以点 $Q$ 的坐标为 $\left(-1,0\right)$，$\left(8,-18\right)$．
综上所述，点 $Q$ 的坐标为 $\left(3,2\right)$，$ \left(-1,0\right) $，$\left(8,-18\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
