• 题型

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  代几综合

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  直角三角形的存在性

$t$ 的值为 $\dfrac {15\left(5-3\sqrt 2\right)}7$ 或 $\dfrac {9\left(5\sqrt 2-3\right)}{41}$

因为抛物线 $y=-x^2+bx+c$ 经过 $A\left(3,0\right),B\left(0,3\right)$ 两点，
所以 $\begin{cases}-9+3b+c=0,\\c=3.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=2,\\c=3.\end{cases}$，
所以抛物线的解析式为 $y=-x^2+2x+3$．
设直线 $AB$ 的解析式为 $y=kx+n$．
所以 $\begin{cases}3k+n=0,\\n=3.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-1,\\n=3.\end{cases}$
所以直线 $AB$ 的解析式为 $y=-x+3$．
由题意得 $OE=t$，$AF=\sqrt 2 t$，
所以 $AE=OA-OE=3-t$．
因为 $\triangle AEF$ 为直角三角形，所以 $\triangle AOB$ 和 $\triangle AEF$ 相似．
① 若 $\triangle AOB\backsim \triangle AEF$，即 $\dfrac {AF}{AB}=\dfrac {AE}{OA}$．
所以 $\dfrac {\sqrt 2t}5=\dfrac {3-t}3 $，解得 $t=\dfrac {15\left(5-3\sqrt 2\right)}7$．
② 若 $\triangle AOB\backsim \triangle AFE$，即 $\dfrac {OA}{AF}=\dfrac {AB}{AE}$．
所以 $\dfrac 3 {\sqrt 2t}=\dfrac 5{3-t}$，解得 $t=\dfrac {9\left(5\sqrt 2-3\right)}{41}$．
综上所述，满足题意的 $t$ 的值为 $\dfrac {15\left(5-3\sqrt 2\right)}7$ 或 $\dfrac {9\left(5\sqrt 2-3\right)}{41}$．

• 题型

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  代几综合

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  函数与面积

存在面积最大的三角形，最大值是 $\dfrac {27}8$，此时点 $P\left(\dfrac 3 2,\dfrac {15}4\right)$

过点 $P$ 作 $PC\parallel AB$ 交 $y$ 轴于 $C$，当直线 $PC$ 与 $y=-x^2+2x+3$ 有且只有一个交点时，$\triangle PAB$ 面积最大．因为直线 $AB$ 解析式为 $y=-x+3$，故可设直线 $PC$ 解析式为 $y=-x+b$．
联立方程组 $\begin{cases}y=-x+b,\\y=-x^2+2x+3,\end{cases}$
从而 $x^2-3x+b-3=0$，
所以 $\triangle=9-4\left(b-3\right)=0$，即 $b=\dfrac {21}4$．
解方程组 $\begin{cases}y=-x+\dfrac {21}4,\\y=-x^2+2x+3,\end{cases}$ 得 $\begin{cases}x=\dfrac 3 2,\\y=\dfrac {15}4.\end{cases}$
所以点 $P$ 的坐标为 $\left(\dfrac 3 2,\dfrac {15}4\right)$．
过点 $B$ 作 $BD\perp PC$ 于点 $D$．
显然 $\angle DCB=\angle ABO=45^\circ$，
而 $BC=\dfrac{21}4-3=\dfrac 94$，所以 $BD=\dfrac {9\sqrt 2}8$．
所以 $S_{最大}=\dfrac 1 2AB\cdot BD=\dfrac1 2\times 3\sqrt 2\times \dfrac {9\sqrt 2}8=\dfrac {27}8$．
综上所述，存在面积最大，最大值是 $\dfrac {27}8$，此时点 $P\left(\dfrac 3 2,\dfrac {15}4\right)$．