如图，抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的顶点为 $D\left(-1,-4\right)$，与 $y$ 轴交于点 $C\left(0,-3\right)$，与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求抛物线的解析式；标注答案抛物线解析式为 $y=x^2+2x-3$解析略
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若点 $E$ 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 $F$，使以 $A,C,E,F$ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．标注答案存在，满足条件的点 $F$ 的坐标为 $\left(-2,-3\right),\left(-4,5\right),\left(2,5\right)$解析令 $x^2+2x-3=0$，解得 $x_1=1,x_2=-3$，
所以点 $A$ 的坐标为 $\left(-3,0\right)$，点 $B$ 的坐标为 $\left(1,0\right)$．
由点 $F$ 在抛物线上可设点 $F$ 的坐标为 $\left(m,m^2+2m-3\right)$．解法一 ① 如图1、图2，当 $AC$ 为平行四边形的边时．
过点 $F$ 作 $FP$ 垂直于抛物线的对称轴，垂足为点 $P$．
易证 $\triangle PEF \cong \triangle OCA$，
所以 $PF=AO=3$，
从而点 $F$ 的坐标为 $\left(2,5\right)$ 或 $\left(-4,5\right)$．
② 如图3，当 $AC$ 为平行四边形的对角线时．
过点 $F$ 作作 $FP\perp y$ 轴，垂足为点 $P$，令抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $Q$．
易证 $\triangle PCF \cong \triangle QEA$，
所以 $PF=AQ=2$，
从而点 $F$ 的坐标为 $\left(-2,-3\right)$，
此时点 $F$ 与点 $C$ 纵坐标相同，所以点 $E$ 在 $x$ 轴上．解法二 ① 如图3，当 $AC,EF$ 为平行四边形的对角线时，
可得 $\begin{cases}x_E+m=-3+0,\\ y_E+\left(m^2+2m-3\right)=-3.\end{cases}$
又因为点 $E$ 在抛物线的对称轴上，
所以 $m=-2$，
则点 $F$ 的坐标为 $\left(-2,-3\right)$．
② 如图1，当 $AE,CF$ 为平行四边形的对角线时，
可得 $\begin{cases}x_E=m+3,\\ y_E=m^2+2m-6.\end{cases}$
又因为点 $E$ 在抛物线的对称轴上，
所以 $m=-4$，
则点 $F$ 的坐标为 $\left(-4,5\right)$．
③ 如图2，当 $AF,CE$ 为平行四边形的对角线时，
可得 $\begin{cases} x_E=-3+m,\\ y_E=m^2+2m. \end{cases}$
又因为点 $E$ 在抛物线的对称轴上，
所以 $m=2$，
则点 $F$ 的坐标为 $\left(2,5\right)$．
综上所得，满足平行四边形的点 $F$ 的坐标为 $\left(-2,-3\right),\left(-4,5\right),\left(2,5\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
