如图，在矩形 $OABC$ 中，$OA =5$，$AB =4$，点 $D$ 为边 $AB$ 上一点，将 $\triangle BCD$ 沿直线 $CD$ 折叠，使点 $B$ 恰好落在 $OA$ 边上的点 $E$ 处，分别以 $OC,OA$ 所在的直线为 $x$ 轴、$y$ 轴建立平面直角坐标系．若点 $N$ 在过 $O,D,C$ 三点的抛物线的对称轴上，点 $M$ 在抛物线上，是否存在这样的点 $M$ 与点 $N$，使得以 $M,N,C,E$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出 $M$ 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
存在，点 $M$ 的坐标为 $\left(2,16\right)$，$\left(-6,16\right)$ 或 $\left(-2,-\dfrac{16}{3}\right)$
【解析】
由题意可得 $DE=DB=4-AD$，$CE=CB=5$，
从而 $OE=3$，$AE=2$，即点 $E$ 的坐标为 $(0,2)$．
易证 $\triangle DAE\sim \triangle EOC$，
所以 $AD=\dfrac 34AE=\dfrac 32$，即点 $D$ 的坐标为 $\left(\dfrac 32,-5\right)$．
从而过点 $O,D,C$ 的抛物线解析式为 $y=\dfrac 43x^2+\dfrac{16}{3}x$，其对称轴为直线 $ x=-2 $．
由题意可设点 $M$ 的坐标为 $\left(m,\dfrac 43m^2+\dfrac{16}3m\right)$，点 $N$ 的坐标为 $\left(-2,n\right)$．
以 $M,N,C,E$ 为顶点的四边形是平行四边形有如下三种情况：
① 当 $EN,CM$ 为对角线时，有 $\dfrac{x_E+x_N}{2}=\dfrac{x_C+x_M}{2}$，
所以 $\dfrac{0+\left(-2\right)}{2}=\dfrac{m+\left(-4\right)}{2}$，
解得 $m=2$，
所以点 $M$ 的坐标为 $\left(2,16\right)$；
② 当 $EM,CN$ 为对角线时，有 $\dfrac{x_E+x_M}{2}=\dfrac{x_C+x_N}{2}$，
所以 $\dfrac{0+m}{2}=\dfrac{\left(-4\right)+\left(-2\right)}{2}$，
解得 $m=-6$，
所以点 $M$ 的坐标为 $\left(-6,16\right)$；
③ 当 $CE,MN$ 为对角线，有 $\dfrac{x_C+x_E}{2}=\dfrac{x_M+x_N}{2}$，
所以 $\dfrac{(-4)+0}{2}=\dfrac{m+(-2)}{2}$，
解得 $m=-2$
所以点 $M$ 的坐标为 $\left(-2,-\dfrac{16}{3}\right) $．
综上可得，存在满足条件的点 $M$，其坐标为 $\left(2,16\right)$，$\left(-6,16\right)$ 或 $\left(-2,-\dfrac{16}{3}\right)$．
从而 $OE=3$，$AE=2$，即点 $E$ 的坐标为 $(0,2)$．
易证 $\triangle DAE\sim \triangle EOC$，
所以 $AD=\dfrac 34AE=\dfrac 32$，即点 $D$ 的坐标为 $\left(\dfrac 32,-5\right)$．
从而过点 $O,D,C$ 的抛物线解析式为 $y=\dfrac 43x^2+\dfrac{16}{3}x$，其对称轴为直线 $ x=-2 $．
由题意可设点 $M$ 的坐标为 $\left(m,\dfrac 43m^2+\dfrac{16}3m\right)$，点 $N$ 的坐标为 $\left(-2,n\right)$．
以 $M,N,C,E$ 为顶点的四边形是平行四边形有如下三种情况：
① 当 $EN,CM$ 为对角线时，有 $\dfrac{x_E+x_N}{2}=\dfrac{x_C+x_M}{2}$，
所以 $\dfrac{0+\left(-2\right)}{2}=\dfrac{m+\left(-4\right)}{2}$，
解得 $m=2$，
所以点 $M$ 的坐标为 $\left(2,16\right)$；
② 当 $EM,CN$ 为对角线时，有 $\dfrac{x_E+x_M}{2}=\dfrac{x_C+x_N}{2}$，
所以 $\dfrac{0+m}{2}=\dfrac{\left(-4\right)+\left(-2\right)}{2}$，
解得 $m=-6$，
所以点 $M$ 的坐标为 $\left(-6,16\right)$；
③ 当 $CE,MN$ 为对角线，有 $\dfrac{x_C+x_E}{2}=\dfrac{x_M+x_N}{2}$，
所以 $\dfrac{(-4)+0}{2}=\dfrac{m+(-2)}{2}$，
解得 $m=-2$
所以点 $M$ 的坐标为 $\left(-2,-\dfrac{16}{3}\right) $．
综上可得，存在满足条件的点 $M$，其坐标为 $\left(2,16\right)$，$\left(-6,16\right)$ 或 $\left(-2,-\dfrac{16}{3}\right)$．
答案
解析
备注
