如图，抛物线与 $x$ 轴交于点 $A(-5,0),B(3,0)$，与 $y$ 轴交于点 $C(0,5)$．有一宽度为 $1$、长度足够的矩形（阴影部分）沿 $x$ 轴方向平移，与 $y$ 轴平行的一组对边交抛物线于点 $P,Q$，交直线 $AC$ 于点 $M,N$．在矩形的平移过程中，当以点 $P,Q,M,N$ 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 $M$ 的坐标．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
点 $M$ 的坐标为 $(-2,3)$，$(-2-\sqrt 6,3-\sqrt 6)$ 或 $(-2+\sqrt 6,3+\sqrt 6)$
【解析】
经过点 $A,B,C$ 的抛物线的解析式为 $y=-\dfrac 13x^2-\dfrac 23x+5$，
直线 $AC$ 的解析式为 $y=x+5$．
设点 $M$ 的坐标为 $(t,t+5)$，则点 $N$ 的坐标为 $(t-1,t+4)$，点 $P$ 的坐标为 $\left(t,-\dfrac 13t^2-\dfrac 23t+5\right)$，点 $Q$ 的坐标为 $\left(t-1,-\dfrac 13t^2+\dfrac{16}3\right)$．
在矩形平移的过程中，以 $P,Q,N,M$ 为顶点的平行四边形有两种情况：
① 当点 $P,Q$ 在直线 $AC$ 同侧时，有 $y_P-y_M=y_Q-y_N$，
所以 $-\dfrac 13t^2-\dfrac 23t+5-(t+5)=-\dfrac 13t^2+\dfrac{16}3-(t+4)$，
解得 $t=-2$，
得到点 $M$ 的坐标为 $(-2,3)$；
② 当点 $P,Q$ 在直线 $AC$ 异侧时，有 $y_P-y_M=y_N-y_Q$，
所以 $-\dfrac 13t^2-\dfrac 23t+5-(t+5)=t+4-(-\dfrac 13t^2+\dfrac{16}3)$，
解得 $t=-2\pm \sqrt 6$，
得到点 $M$ 的坐标为 $(-2-\sqrt 6,3-\sqrt 6)$ 或 $(-2+\sqrt 6,3+\sqrt 6)$．
综上可得，满足条件的点 $M$ 的坐标为 $(-2,3)$，$(-2-\sqrt 6,3-\sqrt 6)$ 或 $(-2+\sqrt 6,3+\sqrt 6)$．
直线 $AC$ 的解析式为 $y=x+5$．
设点 $M$ 的坐标为 $(t,t+5)$，则点 $N$ 的坐标为 $(t-1,t+4)$，点 $P$ 的坐标为 $\left(t,-\dfrac 13t^2-\dfrac 23t+5\right)$，点 $Q$ 的坐标为 $\left(t-1,-\dfrac 13t^2+\dfrac{16}3\right)$．
在矩形平移的过程中，以 $P,Q,N,M$ 为顶点的平行四边形有两种情况：
① 当点 $P,Q$ 在直线 $AC$ 同侧时，有 $y_P-y_M=y_Q-y_N$，
所以 $-\dfrac 13t^2-\dfrac 23t+5-(t+5)=-\dfrac 13t^2+\dfrac{16}3-(t+4)$，
解得 $t=-2$，
得到点 $M$ 的坐标为 $(-2,3)$；
② 当点 $P,Q$ 在直线 $AC$ 异侧时，有 $y_P-y_M=y_N-y_Q$，
所以 $-\dfrac 13t^2-\dfrac 23t+5-(t+5)=t+4-(-\dfrac 13t^2+\dfrac{16}3)$，
解得 $t=-2\pm \sqrt 6$，
得到点 $M$ 的坐标为 $(-2-\sqrt 6,3-\sqrt 6)$ 或 $(-2+\sqrt 6,3+\sqrt 6)$．
综上可得，满足条件的点 $M$ 的坐标为 $(-2,3)$，$(-2-\sqrt 6,3-\sqrt 6)$ 或 $(-2+\sqrt 6,3+\sqrt 6)$．
答案
解析
备注
