已知直线 $l:y=-2x+4 $ 和直线外一点 $ P\left(3,2\right)$，求经过 $P $ 点且与 $ l$ 夹角是 $ 45^\circ $ 的直线的解析式．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ y=-\dfrac 13x+3 $ 和 $ y=3x-7 $
【解析】
当 $-2x+4=0 $ 时，$ x=2 $；当 $ x=0 $ 时，$ y=4$，
所以直线 $ l $ 与 $ x $ 轴、$y $ 轴交点为 $ A\left(2,0\right),B\left(0,4\right) $．
如图所示，将 $ \triangle OAB $ 绕点 $ B $ 顺时针旋转 $ 90^\circ$ 得到 $ \triangle O'A'B$，连接 $AA'$．
其中 $ O'\left(-4,4\right),A'\left(-4,2\right) $，$ A'B=AB $，$ \angle ABA'=90^\circ $．
所以 $ \angle BAA'=45^\circ $．所以直线 $AA' $ 与直线 $l $ 的夹角为 $ 45^\circ $．
设直线 $AA' $ 的解析式为 $y=kx+b $，
代入点 $ A\left(2,0\right),A' \left(-4,2\right)$ 得 $y=-\dfrac 13x+{\dfrac 23}$．
设经过点 $ P$ 与 $ l$ 夹角是 $ 45^\circ $ 的直线的解析式为 $ y=-\dfrac 13x+b' $，
代入 $P\left(3,2\right)$ 得 $y=-\dfrac 13x+3 $．
过 $ P $ 垂直 $ AA' $ 的直线与 $ l$ 也成 $ 45^\circ $，得到该直线方程为 $ y=3x-7 $．
综上，经过 $P $ 点且与 $ l$ 夹角是 $ 45^\circ $ 的直线的解析式为 $ y=-\dfrac 13x+3 $ 和 $ y=3x-7 $．
所以直线 $ l $ 与 $ x $ 轴、$y $ 轴交点为 $ A\left(2,0\right),B\left(0,4\right) $．
如图所示，将 $ \triangle OAB $ 绕点 $ B $ 顺时针旋转 $ 90^\circ$ 得到 $ \triangle O'A'B$，连接 $AA'$．
其中 $ O'\left(-4,4\right),A'\left(-4,2\right) $，$ A'B=AB $，$ \angle ABA'=90^\circ $．所以 $ \angle BAA'=45^\circ $．所以直线 $AA' $ 与直线 $l $ 的夹角为 $ 45^\circ $．
设直线 $AA' $ 的解析式为 $y=kx+b $，
代入点 $ A\left(2,0\right),A' \left(-4,2\right)$ 得 $y=-\dfrac 13x+{\dfrac 23}$．
设经过点 $ P$ 与 $ l$ 夹角是 $ 45^\circ $ 的直线的解析式为 $ y=-\dfrac 13x+b' $，
代入 $P\left(3,2\right)$ 得 $y=-\dfrac 13x+3 $．
过 $ P $ 垂直 $ AA' $ 的直线与 $ l$ 也成 $ 45^\circ $，得到该直线方程为 $ y=3x-7 $．
综上，经过 $P $ 点且与 $ l$ 夹角是 $ 45^\circ $ 的直线的解析式为 $ y=-\dfrac 13x+3 $ 和 $ y=3x-7 $．
答案
解析
备注
