如图，抛物线 $ y=-x^2+3x+4$ 与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点（点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧），与 $ y $ 轴交于 $ C $ 点，点 $ D$ 在抛物线上且横坐标为 $3 $，连接 $CD,CB,BD$．点 $P $ 是抛物线上一动点，且 $ \angle DBP=45^\circ $，求点 $ P $ 的坐标．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
足条件的 $P$ 点的坐标为 $ \left(-\dfrac 25,\dfrac {66}{25}\right)$
【解析】
如图，过 $ D $ 作 $DE\perp BC $，垂足为 $ E $，设抛物线上点 $ P $ 坐标为 $\left(m,-m^2+3m+4\right)$，过 $P $ 作 $ PF\perp AB $，垂足为 $ F $．
令 $ -x^2+3x+4=0$，解得 $x_1=-1,x_2=4$，
所以 $A\left(-1,0 \right)$，$B\left(4,0\right) $．
当 $ x=0 $ 时，$y=4 $，所以 $ C\left(0,4\right)$．
当 $ x=3 $ 时，$y=4 $，所以 $D\left(3,4\right)$．
所以 $ OB=OC$，$CD\parallel AB$，
所以 $\angle ABC=\angle BCD=\angle EDC=45^\circ $．
在 ${\mathrm{Rt}{\triangle CED}} $ 中，
有 $ CE=DE=CD\sin {45^\circ}=\dfrac {3\sqrt 2}2$．
因为 $BC=4\sqrt 2 $，所以 $BE=\dfrac {5\sqrt 2}2$，
所以 $\tan {\angle DBC}=\dfrac 35 $．
若 $ \angle PBD=45^\circ=\angle ABC $，
则 $\angle PBF=\angle DBC$，
所以 $\tan {\angle PBF}=\dfrac {PF}{BF}=\tan {\angle DBC}$，
即 $\dfrac {-m^2+3m+4}{4-m} = \dfrac 35$，
解得 $ m_1=-\dfrac 25$，$m_2=4$（舍）．
所以满足条件的 $P$ 点的坐标为 $ \left(-\dfrac 25,\dfrac {66}{25}\right)$．
令 $ -x^2+3x+4=0$，解得 $x_1=-1,x_2=4$，所以 $A\left(-1,0 \right)$，$B\left(4,0\right) $．
当 $ x=0 $ 时，$y=4 $，所以 $ C\left(0,4\right)$．
当 $ x=3 $ 时，$y=4 $，所以 $D\left(3,4\right)$．
所以 $ OB=OC$，$CD\parallel AB$，
所以 $\angle ABC=\angle BCD=\angle EDC=45^\circ $．
在 ${\mathrm{Rt}{\triangle CED}} $ 中，
有 $ CE=DE=CD\sin {45^\circ}=\dfrac {3\sqrt 2}2$．
因为 $BC=4\sqrt 2 $，所以 $BE=\dfrac {5\sqrt 2}2$，
所以 $\tan {\angle DBC}=\dfrac 35 $．
若 $ \angle PBD=45^\circ=\angle ABC $，
则 $\angle PBF=\angle DBC$，
所以 $\tan {\angle PBF}=\dfrac {PF}{BF}=\tan {\angle DBC}$，
即 $\dfrac {-m^2+3m+4}{4-m} = \dfrac 35$，
解得 $ m_1=-\dfrac 25$，$m_2=4$（舍）．
所以满足条件的 $P$ 点的坐标为 $ \left(-\dfrac 25,\dfrac {66}{25}\right)$．
答案
解析
备注
