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  代几综合

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  函数与面积

点 $E$ 的坐标为 $\left(2,3\right)$ 时，$S_{\triangle BEC}$ 的面积最大，最大面积是 $3$

直线 $y=-\dfrac 34x+3$ 与 $y$ 轴交于点 $B\left(0,3\right)$，与 $x$ 轴交点 $C\left(4,0\right)$．
而抛物线经过 $y=ax^2+\dfrac 34x+c$ 经过 $B,C$ 两点，
则有 $\begin{cases}3=c,\\0=16a+\dfrac 34\times 4+c.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a=-\dfrac 38,\\c=3.\end{cases}$
所以抛物线解析式为 $y=-\dfrac 38x^2+\dfrac 34x+3$．
如图，过点 $E$ 作 $y$ 轴的平行线交直线 $BC$ 于点 $M$．设点 $E\left(x,-\dfrac 38x^2+\dfrac 34x+3\right)$，则点 $M\left(x,-\dfrac 34x+3\right)$．
所以 $EM=-\dfrac 38x^2+\dfrac 34x+3-\left(-\dfrac 34x+3\right)=-\dfrac 38x^2+\dfrac 32x$．
$ \begin{split}\text{所以}S_{\triangle BEC}&=S_{\triangle BEM}+S_{\triangle MEC}\\&=\dfrac{1}{2}EM\cdot OC\\&=\dfrac 12\times\left(-\dfrac 38x^2+\dfrac 32x\right)\times 4\\&=-\dfrac 34x^2+3x \\&=-\dfrac 34\left(x-2\right)^2+3 .\end{split} $
所以当点 $E$ 的坐标为 $\left(2,3\right)$ 时，$S_{\triangle BEC}$ 的面积最大，最大面积是 $3$．

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  代几综合

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  平行四边形的存在性

存在，点 $P$ 的坐标为 $\left(-3,-\dfrac{21}{8}\right),\left(5,-\dfrac{21}{8}\right)$ 或 $\left(-1,\dfrac{15}{8}\right)$

由第1问的解答过程可知点 $M(2,\dfrac 32)$．
由抛物线 $y=-\dfrac 38x^2+\dfrac 34x+3$，可得点 $A(-2,0)$，对称轴为 $x=1$．
所以点 $Q$ 的横坐标为 $1$．
设点 $P\left(p,-\dfrac 38p^2+\dfrac 34p+3\right)$．
以 $P,Q,A,M$ 为顶点的四边形是平行四边形分为以下几种情况：
① 如图，当 $AM\parallel PQ,AP\parallel MQ$ 时．由平行四边形对角线互相平分可得 $x_A+x_Q=x_P+x_M$，
即 $-2+1=2+p$，解得 $p=-3$．
此时点 $P\left(-3,-\dfrac{21}8\right)$；
② 如图，当 $AM\parallel PQ,AQ\parallel MP$ 时．由平行四边形对角线互相平分可得 $x_A+x_P=x_M+x_Q$，
即 $-2+p=2+1$，解得 $p=5$，
此时点 $P\left(5,-\dfrac{21}8\right)$；
③ 如图，当 $AP\parallel MQ,PM\parallel AQ$ 时．由平行四边形对角线互相平分可得 $x_A+x_M=x_P+x_Q$，
即 $p+1=2-2$，解得 $p=-1$．
此时点 $P\left(-1,\dfrac{15}8\right)$．
综上可得，满足条件的点 $P$，其坐标为 $\left(-3,-\dfrac{21}{8}\right),\left(5,-\dfrac{21}{8}\right)$ 或 $\left(-1,\dfrac{15}{8}\right)$．