如图，二次函数 $y=\dfrac 12x^2-x+c$ 的图象与 $x$ 轴分别交于 $A,B$ 两点，顶点 $M$ 关于 $x$ 轴的对称点是 $M'$．问是否存在抛物线 $y=\dfrac 12x^2-x+c$，使得四边形 $AMBM'$ 为正方形？若存在，请求出此抛物线的函数关系式；若不存在，请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
存在抛物线 $y=\dfrac 12x^2-x-{\dfrac 32}$，使得四边形 $AMBM'$ 为正方形
【解析】
易得 $AMBM'$ 是菱形，所以当 $AB=MM'$ 时，四边形 $AMBM'$ 是正方形．
设点 $A$ 的坐标为 $\left(x_1,0\right)$，点 $B$ 的坐标为 $\left(x_2,0\right)$．
令 $\dfrac 12x^2-x+c =0$，
所以 $x_1+x_2=2$，$x_1\cdot x_2=2c$，
所以 $AB=\sqrt {\left(x_1+{x_2}\right)^2-4{x_1}{x_2}}=\sqrt {4-8c}$，
点 $M$ 的纵坐标为 $\dfrac {4ac-b^2}{4a}=\dfrac {2c-1}2$．
若四边形 $AMBM'$ 为正方形，则有 $\sqrt {4-8c}=2\times \left|{\dfrac {2c-1}2}\right|$，
解得 $c_1=\dfrac 12$，$c_2=-\dfrac 32$，
又抛物线与 $x$ 轴有两个交点，
所以 $\Delta =b^2-4ac=\left(-1\right)^2-4\times {\dfrac 12}c>0$，
解得 $c<\dfrac 12$．
所以 $c$ 的值为 $-\dfrac 32$．
所以存在抛物线 $y=\dfrac 12x^2-x-{\dfrac 32}$，使得四边形 $AMBM'$ 为正方形．
设点 $A$ 的坐标为 $\left(x_1,0\right)$，点 $B$ 的坐标为 $\left(x_2,0\right)$．
令 $\dfrac 12x^2-x+c =0$，
所以 $x_1+x_2=2$，$x_1\cdot x_2=2c$，
所以 $AB=\sqrt {\left(x_1+{x_2}\right)^2-4{x_1}{x_2}}=\sqrt {4-8c}$，
点 $M$ 的纵坐标为 $\dfrac {4ac-b^2}{4a}=\dfrac {2c-1}2$．
若四边形 $AMBM'$ 为正方形，则有 $\sqrt {4-8c}=2\times \left|{\dfrac {2c-1}2}\right|$，
解得 $c_1=\dfrac 12$，$c_2=-\dfrac 32$，
又抛物线与 $x$ 轴有两个交点，
所以 $\Delta =b^2-4ac=\left(-1\right)^2-4\times {\dfrac 12}c>0$，
解得 $c<\dfrac 12$．
所以 $c$ 的值为 $-\dfrac 32$．
所以存在抛物线 $y=\dfrac 12x^2-x-{\dfrac 32}$，使得四边形 $AMBM'$ 为正方形．
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