在平面直角坐标系中，平行四边形 $ABOC$ 如图放置，点 $A$，$ C$ 的坐标分别是 $\left(0,4\right) $，$\left(-1,0\right)$，将此平行四边形绕点 $O$ 顺时针旋转 $90^\circ $，得到平行四边形 $A'B'OC'$．若 $P$ 为拋物线上的一动点，$N$ 为 $x$ 轴上的一动点，点 $Q$ 坐标为 $\left(1,0\right)$，当 $P,N,B,Q$ 构成平行四边形时，求点 $P$ 的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点 $N$ 的坐标．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当 $P,N,B,Q$ 构成平行四边形时点 $P$ 的坐标为 $\left(0,4\right)$，$\left(3,4\right)$，$\left(\dfrac {3+\sqrt{41}} 2 ,-4\right)$ 或 $\left(\dfrac{3-\sqrt{41}} 2 ,-4\right)$；
当这个平行四边形为矩形时，点 $N$ 的坐标为 $\left(0,0\right)$ 或 $\left(3,0\right)$
当这个平行四边形为矩形时，点 $N$ 的坐标为 $\left(0,0\right)$ 或 $\left(3,0\right)$
【解析】
因为平行四边形 $ABOC$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90^\circ$，得到平行四边形 $A'B'OC'$，点 $A$ 的坐标是 $\left(0,4\right)$，
所以点 $A'$ 的坐标为 $\left(4,0\right)$，点 $B$ 的坐标为 $\left(1,4\right)$．
因为抛物线过点 $C,A,A'$，设抛物线的函数解析式为 $y=ax^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$，
所以 $\begin{cases}a-b+c=0,\\c=4\\16a+4b+c=0
\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-1,\\b=3,\\c=4
\end{cases}$
所以抛物线的函数解析式为 $y=-x^2+3x+4$．
设 $P$ 点的坐标为 $\left(x,-x^2+3x+4\right)$．
点 $P,N,B,Q$ 构成平行四边形有以下可能：
① 当 $BQ$ 为边是，$PN\parallel BQ$ 且 $PN=BQ$，
因为 $BQ=4$，所以 $-x^2+3x+4=\pm 4$．
当 $-x^2+3x+4=4$ 时，$x_1=0$，$x_2=3$，即 $P_1\left(0,4\right)$，$P_2\left(3,4\right);$
当 $-x^2+3x+4=-4$ 时，$x_3=\dfrac {3+\sqrt{41}} 2$，$x_4=\dfrac{3-\sqrt{41}} 2$，即 $P_3\left(\dfrac {3+\sqrt{41}} 2 ,-4\right)$，$P_4\left(\dfrac{3-\sqrt{41}} 2 ,-4\right)$．
② 当 $BQ$ 为对角线时，$PB\parallel x$ 轴，即 $P_1\left(0,4\right)$，$P_2\left(3,4\right)$；
若这个平行四边形为矩形，则有 $P_1\left(0,4\right),N_1\left(0,0\right)$；$P_2\left(3,4\right),N_2\left(3,0\right)$．
综上所述，当 $P,N,B,Q$ 构成平行四边形时点 $P$ 的坐标为 $\left(0,4\right)$，$\left(3,4\right)$，$\left(\dfrac {3+\sqrt{41}} 2 ,-4\right)$ 或 $\left(\dfrac{3-\sqrt{41}} 2 ,-4\right)$；
当这个平行四边形为矩形时，点 $N$ 的坐标为 $\left(0,0\right)$ 或 $\left(3,0\right)$．
所以点 $A'$ 的坐标为 $\left(4,0\right)$，点 $B$ 的坐标为 $\left(1,4\right)$．
因为抛物线过点 $C,A,A'$，设抛物线的函数解析式为 $y=ax^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$，
所以 $\begin{cases}a-b+c=0,\\c=4\\16a+4b+c=0
\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-1,\\b=3,\\c=4
\end{cases}$
所以抛物线的函数解析式为 $y=-x^2+3x+4$．
设 $P$ 点的坐标为 $\left(x,-x^2+3x+4\right)$．
点 $P,N,B,Q$ 构成平行四边形有以下可能：
① 当 $BQ$ 为边是，$PN\parallel BQ$ 且 $PN=BQ$，
因为 $BQ=4$，所以 $-x^2+3x+4=\pm 4$．
当 $-x^2+3x+4=4$ 时，$x_1=0$，$x_2=3$，即 $P_1\left(0,4\right)$，$P_2\left(3,4\right);$
当 $-x^2+3x+4=-4$ 时，$x_3=\dfrac {3+\sqrt{41}} 2$，$x_4=\dfrac{3-\sqrt{41}} 2$，即 $P_3\left(\dfrac {3+\sqrt{41}} 2 ,-4\right)$，$P_4\left(\dfrac{3-\sqrt{41}} 2 ,-4\right)$．
② 当 $BQ$ 为对角线时，$PB\parallel x$ 轴，即 $P_1\left(0,4\right)$，$P_2\left(3,4\right)$；
若这个平行四边形为矩形，则有 $P_1\left(0,4\right),N_1\left(0,0\right)$；$P_2\left(3,4\right),N_2\left(3,0\right)$．
综上所述，当 $P,N,B,Q$ 构成平行四边形时点 $P$ 的坐标为 $\left(0,4\right)$，$\left(3,4\right)$，$\left(\dfrac {3+\sqrt{41}} 2 ,-4\right)$ 或 $\left(\dfrac{3-\sqrt{41}} 2 ,-4\right)$；
当这个平行四边形为矩形时，点 $N$ 的坐标为 $\left(0,0\right)$ 或 $\left(3,0\right)$．
答案
解析
备注
