在平面直角坐标系 $xOy$ 中，若 $P,Q$ 为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与 $x,y$ 轴平行，则称该菱形为点 $P,Q$ 的“相关菱形”．图1为点 $P,Q$ 的“相关菱形”的一个示意图．
已知点 $A$ 的坐标为 $(1,4)$，点 $B$ 的坐标为 $(b,0)$．
已知点 $A$ 的坐标为 $(1,4)$，点 $B$ 的坐标为 $(b,0)$．【难度】
【出处】
无
【标注】
-
若点 $A,B$ 的“相关菱形”为正方形，求 $b$ 的值．标注答案$b=-3$ 或 $5$解析如图，过点 $A$ 作 $AH\perp x$ 轴于点 $H$．
因为点 $A,B$ 的“相关菱形”为正方形，
所以 $\triangle AHB$ 为等腰直角三角形．
而点 $A(1,4)$，
所以 $BH=AH=4$，
从而 $b=-3$ 或 $5$． -
$\odot B$ 的半径为 $\sqrt 2$，点 $C$ 的坐标为 $(2,4)$．若 $\odot B$ 上存在点 $M$，在线段 $AC$ 上存在点 $N$，使点 $M,N$ 的“相关菱形”为正方形，请直接写出 $b$ 的取值范围．标注答案$-5\leqslant b\leqslant 0$ 或 $3\leqslant b\leqslant 8$解析若点 $M,N$ 的“相关菱形”为正方形，
则直线 $MN$ 与 $x$ 轴的夹角为 $45^\circ$，即直线 $MN$ 与直线 $y=x$ 或 $y=-x$ 平行．
① 如图，过点 $A$ 作 $AD_1$ 平行于直线 $y=x$ 交 $x$ 轴于点 $D_1$，作 $AD_2$ 平行于直线 $y=-x$ 交 $x$ 轴于点 $D_2$．
则直线 $AD_1$ 的解析式为 $y=x+3$，直线 $AD_2$ 的解析式为 $y=-x+5$，
所以点 $D_1(-3,0)$，点 $D_2(5,0)$．
i）若 $\odot B$ 的圆心在点 $B_1$ 处时，其与直线 $AD_1$ 相切与点 $E_1$，则 $B_1E_1=\sqrt 2$．
此时 $D_1E_1=B_1E_1=\sqrt 2$，所以 $B_1D_1=2$，
所以点 $B_1$ 的坐标为 $(-5,0)$；
ii）若 $\odot B$ 的圆心在点 $B_2$ 处时，其与直线 $AD_2$ 相切与点 $E_2$，则 $B_2E_2=\sqrt 2$．
此时 $D_2E_2=B_2E_2=\sqrt 2$，所以 $B_2D_2=2$，
所以点 $B_2$ 的坐标为 $(3,0)$．
② 如图，过点 $C$ 作 $CD_3$ 平行于直线 $y=x$ 交 $x$ 轴于点 $D_3$，作 $CD_4$ 平行于直线 $y=-x$ 交 $x$ 轴于点 $D_4$．
则直线 $CD_3$ 的解析式为 $y=x+2$，直线 $CD_4$ 的解析式为 $y=-x+6$，
所以点 $D_3(-2,0)$，点 $D_4(6,0)$．
i）若 $\odot B$ 的圆心在点 $B_3$ 处时，其与直线 $CD_1$ 相切与点 $E_3$，则 $B_3E_3=\sqrt 2$．
此时 $D_3E_3=B_3E_3=\sqrt 2$，所以 $B_3D_3=2$，
所以点 $B_3$ 的坐标为 $(0,0)$；
ii）若 $\odot B$ 的圆心在点 $B_4$ 处时，其与直线 $CD_4$ 相切与点 $E_4$，则 $B_4E_4=\sqrt 2$．
此时 $D_4E_4=B_4E_4=\sqrt 2$，所以 $B_4D_4=2$，
所以点 $B_4$ 的坐标为 $(8,0)$．
结合图象，可得满足题意的 $b$ 的取值范围为 $-5\leqslant b\leqslant 0$ 或 $3\leqslant b\leqslant 8$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
