已知如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $y=\sqrt 3x-2\sqrt 3$ 与 $x,y$ 轴分别交于 $A,B$ 两点，$P$ 是直线 $AB$ 上一动点，$\odot P$ 的半径为 $1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
判断原点 $O$ 与 $\odot P$ 的位置关系，并说明理由；标注答案原点 $O$ 在 $\odot P$ 外解析由直线 $AB$ 的函数关系式可得其与两坐标轴交点 $A\left(2,0\right),B\left(0,-2\sqrt 3\right)$．
在直角 $\triangle OAB$ 中，$\tan\angle OBA=\dfrac{2}{2\sqrt 3}=\dfrac{\sqrt 3}3$，
所以 $\angle OBA=30^\circ$．
如图，过点 $O$ 作 $OH\perp AB$ 于点 $H$．
在 $\triangle OBH$ 中，$OH=OB\cdot \sin\angle OBA=\sqrt3$．
因为 $\sqrt3>1$，
所以原点 $O$ 在 $\odot P$ 外． -
当 $\odot P$ 过点 $B$ 时，求 $\odot P$ 被 $y$ 轴所截得的劣弧的长；标注答案$\odot P$ 被 $y$ 轴所截得的劣弧长为 $\dfrac{2{\mathrm \pi}}{3}$解析如图，当 $\odot P$ 过点 $B$，点 $P$ 在 $y$ 轴右侧时．
$\odot P$ 被 $y$ 轴所截得的劣弧所对圆心角为 $120^\circ$，
所以弧长为 $\dfrac{120\times{\mathrm \pi}\times1}{180}=\dfrac{2{\mathrm \pi}}{3}$．
同理，当 $\odot P$ 过点 $B$，点 $P$ 在 $y$ 轴左侧时，弧长同样为 $\dfrac{2{\mathrm \pi}}{3}$．
所以，当 $\odot P$ 过点 $B$，$\odot P$ 被 $y$ 轴所截得的劣弧长为 $\dfrac{2{\mathrm \pi}}{3}$． -
当 $\odot P$ 与 $x$ 轴相切时，求出切点的坐标．标注答案$\left(2+\dfrac{\sqrt3}{3},0\right)$解析如图，当 $\odot P$ 与 $x$ 轴相切，且位于 $x$ 轴下方时，设切点为 $D$．
在直角 $\triangle DAP$ 中，$AD=DP\cdot \tan \angle DPA=1\times\tan{30^\circ}=\dfrac{\sqrt3}{3}$．
此时 $D$ 点坐标为 $\left(2-\dfrac{\sqrt3}{3},0\right)$．
当 $\odot P$ 与 $x$ 轴相切，且位于 $x$ 轴上方时，根据对称性可以求出切点坐标 $\left(2+\dfrac{\sqrt3}{3},0\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
