如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y=ax^2-2ax-3a\left(a<0\right)$ 与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），经过点 $A$ 的直线 $l:y=kx+b$ 与 $y$ 轴负半轴交于点 $C$，与抛物线的另一个交点为 $D$，且 $CD=4AC$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
点 $E$ 是直线 $l$ 上方的抛物线上的动点，若 $\triangle ACE$ 的面积的最大值为 $\dfrac 54$，求 $a$ 的值；标注答案$a=-\dfrac 25$解析因为 $y=ax^2-2ax-3a=a(x-3)(x+1)$，
所以点 $A\left(-1,0\right)$，点 $B(3,0)$．
可设经过点 $A$ 直线 $l$ 为 $y=k(x+1)$，即 $y=kx+k$．
由 $CD=4AC$，可点 $D$ 的横坐标为 $4$．
所以 $16a-8a-3a=4k+4$，即 $k=a$．
所以直线 $l$ 的函数表达式为 $y=ax+a$．
如图，过点 $E$ 作 $EF\parallel y$ 轴，交直线 $l$ 于点 $F$．
设点 $E\left(x,ax^2-2ax-3a\right)$，则点 $F\left(x,ax+a\right)$，所以 $EF=ax^2-2ax-3a-\left(ax+a\right)=ax^2-3ax-4a $，
$\begin{split}\text{所以}S_{\triangle ACE} &=S_{\triangle AFE}-S_{\triangle CFE} \\&=\dfrac 12\left(ax^2-3ax-4a\right)\left(x+1\right)-\dfrac 12\left(ax^2-3ax-4a\right)x \\&=\dfrac 12\left(ax^2-3ax-4a\right)\\&=\dfrac 12a\left(x-\dfrac 32\right)^2-\dfrac {25}{8}a,\end{split}$
从而 $-\dfrac {25}{8}a=\dfrac 54$，解得 $a=-\dfrac 25$． -
设 $P$ 是抛物线的对称轴上的一点，点 $Q$ 在抛物线上，以点 $A,D,P,Q$ 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 $P$ 的坐标；若不能，请说明理由．标注答案能，点 $P$ 的坐标为 $\left(1,-\dfrac {26\sqrt 7}{7}\right)$ 或 $\left(1,-4\right)$解析令 $ax^2-2ax-3a=ax+a$，即 $ax^2-3ax-4a=0$，
解得 $x_1=-1$，$x_2=4$，
所以点 $A(-1,0)$，点 $D\left(4,5a\right)$．
易得抛物线的对称轴为 $x=1$，
可设点 $P\left(1,m\right)$，点 $Q(n,a(n^2-2n-3))$．
① 如图，若 $AD$ 是矩形的一条边．
则 $x_A+x_P=x_D+x_Q$，可得 $x_Q=-4$，从而点 $Q$ 的坐标为 $(-4,21a)$．
同样 $y_A+y_P=y_D+y_Q$，可得 $y_P=26a$，从而点 $P$ 的坐标为 $(1,26a)$．
因为四边形 $ADPQ$ 为矩形，
所以 $AP=DQ$，所以有 $2^2+(26a)^2=8^2+(16a)^2$，
解得 $a_1=-\dfrac{\sqrt 7}7$，$a_2=\dfrac{\sqrt 7}7$（舍），
所以此时点 $P$ 的坐标为 $\left(1,-\dfrac{26\sqrt 7}7\right)$．
② 如图，若 $AD$ 是矩形的一条对角线．
则 $x_A+x_D=x_P+x_Q$，可得 $x_Q=2$，从而点 $Q$ 的坐标为 $(2,-3a)$．
同样 $y_A+y_D=y_P+y_Q$，可得 $y_P=8a$，从而点 $P$ 的坐标为 $(1,8a)$．
因为 $AD=PQ$，所以有 $5^2+(5a)^2=1^2+(11a)^2$，
解得 $a_1=-\dfrac 12$，$a_2=\dfrac 12$（舍），
所以此时点 $P$ 的坐标为 $(1,-4)$．
综上所得，以点 $A,D,P,Q$ 为顶点的四边形能成为矩形，点 $P$ 的坐标为 $\left(1,-\dfrac {26\sqrt 7}{7}\right)$ 或 $\left(1,-4\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
