已知 $a \in \left( {0 , \dfrac{1}{2}} \right]$，比较 $\displaystyle \left| {\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{{1+{a^k}}}{{1-{a^k}}}}-n} \right|$ 与 $4$ 的大小．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\displaystyle \left| {\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{{1+{a^k}}}{{1-{a^k}}}}-n} \right| \leqslant 4$
【解析】
先去绝对值符号，显然 $\dfrac{{1+{a^n}}}{{1-{a^n}}}>1$，
于是$$\left| {\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{{1+{a^k}}}{{1-{a^k}}}}-n} \right|=\sum\limits_{k=1}^n {\left( {\dfrac{{1+{a^k}}}{{1-{a^k}}}-1} \right)}
=2\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{{{a^k}}}{{1-{a^k}}}} $$而$$\dfrac{{a-{a^n}}}{{1-{a^n}}}<a \Leftrightarrow a-{a^n}<a-{a^{n+1}} \Leftrightarrow a<1,$$因此可以选定 $q=a$．
这样就有$$\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{{{a^k}}}{{1-{a^k}}}}<\dfrac{{\dfrac{a}{{1-a}}}}{{1-a}}=\dfrac{a}{{{{\left( {1-a} \right)}^2}}}=\dfrac{1}{{a+\dfrac{1}{a}-2}} \leqslant 2$$因此 $\displaystyle \left| {\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{{1+{a^k}}}{{1-{a^k}}}}-n} \right| \leqslant 4$．
于是$$\left| {\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{{1+{a^k}}}{{1-{a^k}}}}-n} \right|=\sum\limits_{k=1}^n {\left( {\dfrac{{1+{a^k}}}{{1-{a^k}}}-1} \right)}
=2\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{{{a^k}}}{{1-{a^k}}}} $$而$$\dfrac{{a-{a^n}}}{{1-{a^n}}}<a \Leftrightarrow a-{a^n}<a-{a^{n+1}} \Leftrightarrow a<1,$$因此可以选定 $q=a$．
这样就有$$\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{{{a^k}}}{{1-{a^k}}}}<\dfrac{{\dfrac{a}{{1-a}}}}{{1-a}}=\dfrac{a}{{{{\left( {1-a} \right)}^2}}}=\dfrac{1}{{a+\dfrac{1}{a}-2}} \leqslant 2$$因此 $\displaystyle \left| {\sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{{1+{a^k}}}{{1-{a^k}}}}-n} \right| \leqslant 4$．
答案
解析
备注
