已知抛物线的表达式为 $y=-{x^2}+6x+c$．若 $P,Q$ 是抛物线上位于第一象限的不同两点，$PA,QB$ 都垂直于 $x$ 轴，垂足分别为 $A,B$，且 $\triangle OPA$ 与 $\triangle OQB$ 全等，求证：$c>-\dfrac{21}{4}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为 $\triangle OAP\cong\triangle QBO$，
所以 $OA=QB$，$PA=OB$．
设点 $P$ 的坐标为 $\left(m,n\right)$，且 $m>0,n>0,m\ne n$，则点 $Q$ 点坐标为 $\left(n,m\right)$，
将这两个点的坐标代入抛物线解析式，得 $\begin{cases}
- {m^2} + 6m+c =n, & ① \\
- n^2+6n+c =m, & ② \end{cases}$
① $-$ ② 得 $n^2-m^2+7\left(m-n\right)=0$，
故有 $n=7-m$．
将其代入方程 ②，得 $ - {m^2} + 7m + \left(c - 7\right) = 0$．
因为存在这样的点，即上述方程有解，
所以其根的判别式 $\Delta={b^2}- 4ac\geqslant 0$，
即 ${7^2}-4\times \left(-1\right)\times \left(c-7\right)\geqslant 0$．
解得 $c\geqslant-\dfrac{21}{4}$．
而当 $c=- \dfrac{21}{4}$ 时，$m=\dfrac{7}{2}$，此时 $n = \dfrac{7}{2}$ 不符合题意．
故 $c>-\dfrac{21}{4}$．
所以 $OA=QB$，$PA=OB$．
设点 $P$ 的坐标为 $\left(m,n\right)$，且 $m>0,n>0,m\ne n$，则点 $Q$ 点坐标为 $\left(n,m\right)$，
将这两个点的坐标代入抛物线解析式，得 $\begin{cases}
- {m^2} + 6m+c =n, & ① \\
- n^2+6n+c =m, & ② \end{cases}$
① $-$ ② 得 $n^2-m^2+7\left(m-n\right)=0$，
故有 $n=7-m$．
将其代入方程 ②，得 $ - {m^2} + 7m + \left(c - 7\right) = 0$．
因为存在这样的点，即上述方程有解，
所以其根的判别式 $\Delta={b^2}- 4ac\geqslant 0$，
即 ${7^2}-4\times \left(-1\right)\times \left(c-7\right)\geqslant 0$．
解得 $c\geqslant-\dfrac{21}{4}$．
而当 $c=- \dfrac{21}{4}$ 时，$m=\dfrac{7}{2}$，此时 $n = \dfrac{7}{2}$ 不符合题意．
故 $c>-\dfrac{21}{4}$．
答案
解析
备注
