• 题型

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  代几综合

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  全等三角形的存在性

抛物线的解析式为 $y=-\dfrac 13x^2+\dfrac{2\sqrt 3}{3}x+3$

设抛物线的解析式为 $y=a\left(x+\sqrt 3\right)\left(x-3\sqrt 3\right)$，
代入点 $C\left(0,3\right)$ 后，解得 $a=-\dfrac 13$，
所以抛物线的解析式为 $y=-\dfrac 13x^2+\dfrac{2\sqrt 3}{3}x+3$．

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  代几综合

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  全等三角形的存在性

存在，点 $Q$ 的坐标为 $\left(3\sqrt 3,4\right)$，$\left(\sqrt 3,-2\right)$，$\left(-2\sqrt 3,1\right)$，$\left(0,7\right)$

存在，点 $Q$ 的坐标为 $\left(3\sqrt 3,4\right),\left(\sqrt 3,-2\right),\left(-2\sqrt 3,1\right)$ 或 $\left(0,7\right)$．
解法一设直线 $BC$ 的解析式为 $y=kx+b$，
依题意得 $\begin{cases}3\sqrt 3k+b=0,\\b=3.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-\dfrac{\sqrt 3}{3},\\b=3.\end{cases}$
故直线 $BC$：$y=-\dfrac{\sqrt 3}{3}x+3$
由抛物线解析式得 $P\left(\sqrt 3,4\right)$，
将点 $P$ 的横坐标代入直线 $BC$ 中，得 $D\left(\sqrt 3,2\right)$
设点 $Q\left(x,y\right)$，则有：
$QC^2=\left(x-0\right)^2+\left(y-3\right)^2=x^2+y^2-6y+9,$
$QD^2=\left(x-\sqrt 3\right)^2+\left(y-2\right)^2=x^2+y^2-2\sqrt 3x-4y+7,$
而 $PA^2=\left(-\sqrt 3-\sqrt 3\right)^2+\left(0-4\right)^2=28,$
$AD^2=\left(-\sqrt 3-\sqrt 3\right)^2+\left(0-2\right)^2=16,$
在 $\triangle QCD$ 和 $\triangle APD$ 中，$CD=PD$，若两个三角形全等，则：
① 当 $QC=AP$，$QD=AD$ 时，$\begin{cases}x^2+y^2-6y-19=0,\\x^2+y^2-2\sqrt 3x-4y-9=0.\end{cases}$
② 当 $QC=AD$，$QD=AP$ 时 $\begin{cases}x^2+y^2-6y-7=0,\\x^2+y^2-2\sqrt 3x-4y-21=0.\end{cases}$
解 ①、② 的方程组得 $\begin{cases}x_1=3\sqrt 3,\\y_1=4.\end{cases}\begin{cases}x_2=\sqrt 3,\\y_2=-2.\end{cases}\begin{cases}x_3=0,\\y_3=7.\end{cases}\begin{cases}x_4=-2\sqrt 3,\\y_4=1.\end{cases}$
所以 $Q$ 点坐标为 $\left(3\sqrt 3,4\right)$，$\left(\sqrt 3,-2\right)$，$\left(-2\sqrt 3,1\right)$，$\left(0,7\right)$．
解法二连接 $CP$，
所以 $\triangle CDP$ 为等边三角形，$\angle ADC=60^\circ$，
所以 $\angle PDA=120^\circ$．
若 $\triangle QCD$ 与 $\triangle ADP$ 全等有两种情况：① 如图1，$\angle DCQ=120^\circ$，$CQ=DA=4$，
此时 $Q_1(0,7)$，$Q_2(-2\sqrt 3,1)$；
② 如图2，$\angle CDQ=120^\circ$，$DQ=DA=4$，
此时 $Q_3(\sqrt 3,-2)$，$Q_4(3\sqrt 3,4)$．