已知直线 $l:y=kx+m$ 交椭圆 $\dfrac{x^2}3+y^2=1$ 于不同的两点 $A,B$．若坐标原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，求 $\triangle AOB$ 面积的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt 3}2$
【解析】
由于坐标原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，因此直线 $l$ 是圆 $x^2+y^2=\dfrac 34$ 的切线．作仿射变换$$\begin{cases} x=x',\\ y=\dfrac{y'}{\sqrt 3},\end{cases}$$则椭圆 $\dfrac{x^2}3+y^2=1$ 变为圆 $x'^2+y'^2=3$，且直线 $l'$ 是椭圆 $x'^2+\dfrac{y'^2}3=\dfrac 34$ 的切线．
设 $O$ 到直线 $l'$ 的距离为 $d$，则根据椭圆的几何性质有$$\dfrac 34<d^2\leqslant \dfrac 94,$$于是 $\triangle AOB$ 的面积$$S=\dfrac{1}{\sqrt 3}\cdot \dfrac 12\cdot 2\sqrt{3-d^2}\cdot d=\sqrt{\dfrac{d^2(3-d^2)}3}\leqslant \dfrac{\sqrt 3}2,$$等号当且仅当 $d^2=\dfrac 32$ 时取得．因此 $\triangle AOB$ 面积的最大值为 $\dfrac{\sqrt 3}2$．
设 $O$ 到直线 $l'$ 的距离为 $d$，则根据椭圆的几何性质有$$\dfrac 34<d^2\leqslant \dfrac 94,$$于是 $\triangle AOB$ 的面积$$S=\dfrac{1}{\sqrt 3}\cdot \dfrac 12\cdot 2\sqrt{3-d^2}\cdot d=\sqrt{\dfrac{d^2(3-d^2)}3}\leqslant \dfrac{\sqrt 3}2,$$等号当且仅当 $d^2=\dfrac 32$ 时取得．因此 $\triangle AOB$ 面积的最大值为 $\dfrac{\sqrt 3}2$．
答案
解析
备注
