题目 已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1$． 问题1 设动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，其中 $M,N$ 是椭圆上的点，直线 $OM$ 与 $ON$ 的斜率之积为 $-\dfrac 12$，问：是否存在两个点 $F_1,F_2$，使得 $|PF_1|+|PF_2|$ 为定值？若存在，求 $F_1,F_2$ 的坐标；若不存在，说明理由． 答案1 $\dfrac{x^2}8+\dfrac{y^2}4=1$ 解析1 在仿射变换 $\begin{cases} x=x',\\ y=\dfrac{y'}{\sqrt 2}\end{cases} $ 下，椭圆方程变为 $x'^2+y'^2=4$，于是有直线 $OM'$ 与直线 $ON'$ 的斜率之积为$$k_{OM'}\cdot k_{ON'}=\sqrt 2 k_{OM}\cdot \sqrt 2 k_{ON}=-1,$$从而 $OM'\perp ON'$．此时四边形 $OM'P'N'$ 为正方形，于是 $|OP'|=|M'N'|=2\sqrt 2$，进而 $P'$ 点的轨迹为圆 $x'^2+y'^2=8$，因此 $P$ 点的轨迹方程为$$x^2+\left(\sqrt 2y\right)^2=8,$$即 $\dfrac{x^2}8+\dfrac{y^2}4=1$． 备注1 问题2 设动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}$，其中 $M,N$ 是椭圆上的点，直线 $OM$ 与 $ON$ 的斜率之积为 $-\dfrac 12$，问：是否存在点 $F$，使得点 $P$ 到点 $F$ 的距离与到直线 $x=2\sqrt{10}$ 的距离之比为定值？若存在，求 $F$ 的坐标；若不存在，说明理由． 答案2 $\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{10}=1$ 解析2 延长 $ON$ 至 $Q$，使得 $|OQ|=2|ON|$，仿射变换后 $Q$ 的对应点 $Q'$ 亦有 $|OQ'|=2|ON'|$，此时四边形 $OM'P'Q'$ 为矩形，于是 $|OP'|=|M'Q'|$，进而 $P'$ 点的轨迹为圆 $x'^2+y'^2=20$，因此 $P$ 点的轨迹方程为$$x^2+\left(\sqrt 2y\right)^2=20,$$即$$\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{10}=1.$$该轨迹为椭圆，根据椭圆的第二定义可知存在符合题意的点 $F$，坐标为 $\left(\sqrt {10},0\right)$（即上述椭圆的右焦点）． 备注2