如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l_1$ 过点 $A\left(1,0\right)$ 且与 $y$ 轴平行，直线 $l_2$ 过点 $B\left(0,2\right)$ 且与 $x$ 轴平行，直线 $l_1$ 与 $l_2$ 相交于点 $P$．点 $E$ 为直线 $l_2$ 上一点，反比例函数 $y=\dfrac kx$（$ k >0$）的图象过点 $E$ 且与直线 $l_1$ 相交于点 $F$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
若点 $E$ 与点 $P$ 重合，求 $k$ 的值；标注答案$k=2$解析略
-
是否存在点 $E$ 及 $y$ 轴上的点 $M$，使得以点 $M,E,F$ 为顶点的三角形与 $\triangle PEF$ 全等？若存在，求点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．标注答案存在，点 $E$ 的坐标为 $\left(\dfrac 38,2\right)$，$\left(\dfrac 83,2\right)$解析存在点 $E$ 及 $y$ 轴上的点 $M$，使 $\triangle MEF$ 与 $\triangle PEF$ 全等．
① 当 $k<2$ 时，如图，只可能有 $\triangle MEF\cong \triangle PEF$，则点 $E\left(\dfrac k2,2\right)$，点 $F\left(1,k\right)$．
作 $FH\perp y$ 轴于点 $H$，则 $\triangle FHM\backsim\triangle MBE$，
所以 $\dfrac{BM}{FH}=\dfrac{EM}{FM}$．
因为 $FH=1$，$EM=PE=1-\dfrac k2$，$FM=PF=2-k$，
所以 $\dfrac{BM}{1}=\dfrac{1-\dfrac k2}{2-k}$，即 $BM=\dfrac 12$．
在 ${ \mathrm {Rt}}\triangle MBE$ 中，$EM^2=EB^2+MB^2$，
所以 $\left(1-\dfrac k2\right)^2=\left(\dfrac k2\right)^2+\left(\dfrac 12\right)^2$，
解得 $k=\dfrac 34$，从而点 $E\left(\dfrac 38,2\right)$．
② 当 $k>2$ 时，如图，只可能有 $\triangle MFE\cong \triangle PEF$，
则点 $E\left(\dfrac k2,2\right)$，点 $F\left(1,k\right)$．
作 $FQ\perp y$ 轴于 $Q$，$\triangle FQM\backsim\triangle MBE$，
所以 $\dfrac{BM}{FQ}=\dfrac{EM}{FM}$．
因为 $FQ=1$，$EM=PF=k-2$，$FM=PE=\dfrac k2-1$，
所以 $\dfrac{BM}{1}=\dfrac{2-k}{1-\dfrac k2}$，即 $BM=2$．
在 ${ \mathrm {Rt}}\triangle MBE$ 中，$EM^2=EB^2+MB^2$，
所以 $\left(k-2\right)^2=\left(\dfrac k2\right)^2+2^2$，
解得 $k=\dfrac {16}{3} $ 或 $k=0$（舍去），从而点 $E\left(\dfrac 83,2\right)$．
综上，满足条件的点 $E$ 的坐标为 $\left(\dfrac 38,2\right)$，$\left(\dfrac 83,2\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
