如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知抛物线 $y=\dfrac 12x^2-3x-8$ 与 $y$ 轴交于点 $C$，直线 $l:y=-\dfrac 43x$ 与抛物线的对称轴交于点 $E$，连接 $CE$，探究抛物线上是否存在一点 $F$，使得 $\triangle FOE\cong \triangle FCE$，若存在请写出点 $F$ 坐标，若不存在，请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
存在，点 $F$ 的坐标为 $(3-\sqrt{17},-4)$ 或 $(3+\sqrt{17},-4)$
【解析】
过点 $C$ 作 $CG\perp $ 对称轴于点 $G$．
当 $x=0$ 时，$y=-8$，所以点 $C(0,-8)$，
所以 $OC=8$．
因为点 $E(3,-4)$，由勾股定理得 $OE=5,CE=5$，
所以 $OE=CE$．
此时点 $F$ 纵坐标为 $-4$，
所以 $\dfrac 12x^2-3x-8=-4$，
整理得 $x^2-6x-8=0$，
解得 $x=3\pm \sqrt{17}$．
所以点 $F$ 的坐标为 $(3-\sqrt{17},-4)$ 或 $(3+\sqrt{17},-4)$．
当 $x=0$ 时，$y=-8$，所以点 $C(0,-8)$，所以 $OC=8$．
因为点 $E(3,-4)$，由勾股定理得 $OE=5,CE=5$，
所以 $OE=CE$．
此时点 $F$ 纵坐标为 $-4$，
所以 $\dfrac 12x^2-3x-8=-4$，
整理得 $x^2-6x-8=0$，
解得 $x=3\pm \sqrt{17}$．
所以点 $F$ 的坐标为 $(3-\sqrt{17},-4)$ 或 $(3+\sqrt{17},-4)$．
答案
解析
备注
