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设数列 $\{a_n\}$ 满足条件 $a_1=1$，$2(a_1+a_2+\cdots+a_n)=(n+1)a_n$（$n=1,2,\cdots$），则数列 $\left\{2^{a_n}-n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 \((\qquad)\)
A: $2^n-2-\dfrac{n(n+1)}2$
B: $2^{n+1}-2-\dfrac{n(n+1)}2$
C: $2-2^n-\dfrac{n(n-1)}2$
D: $2-2^{n-1}-\dfrac{n(n-1)}2$
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT测试理科数学（二测）
【标注】
  • 知识点
    >
    数列
    >
    数列的差分
  • 知识点
    >
    数列
    >
    等差数列及其性质
    >
    等差数列的前n项和
  • 知识点
    >
    数列
    >
    等比数列及其性质
    >
    等比数列的前n项和
【答案】
B
【解析】
根据题意，当 $n\geqslant 2$ 时，有\[2a_n=(n+1)a_n-na_{n-1},\]即\[\dfrac{a_n}{n}=\dfrac{a_{n-1}}{n-1},\]于是可得数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为\[a_n=n,n\in \mathbb N^{\ast}.\]从而数列 $\left\{2^{a_n}-n\right\}$ 的前 $n$ 项和为\[2\left(2^n-1\right)-\dfrac{n(n+1)}2=2^{n+1}-2-\dfrac{n(n+1)}2.\]
题目 答案 解析 备注
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