设 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$ 为椭圆 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，$P$ 为椭圆上任意一点，直线 $PF_1,PF_2$ 分别交椭圆于异于 $P$ 的点 $A,B$，若 $\overrightarrow {PF_1}=\lambda \overrightarrow {F_1A}$，$\overrightarrow {PF_2}=\mu\overrightarrow {F_2B}$，求证：$\lambda +\mu=2\cdot\dfrac {a^2+c^2}{a^2-c^2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $P(x_0,y_0)$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$$F_1\left(\dfrac {x_0+\lambda x_1}{1+\lambda },\dfrac {y_0+\lambda y_1}{1+\lambda }\right ),F_2\left(\dfrac {x_0+\mu x_2}{1+\mu},\dfrac {y_0+\mu y_2}{1+\mu}\right ).$$于是有$$x_0+\lambda x_1=-(1+\lambda )c,y_0+\lambda y_1=0,x_0+\mu x_2=(1+\mu )c,y_0+\mu y_2=0.$$又由点 $P,A$ 在椭圆上得到$$\dfrac {x_0^2}{a^2}+\dfrac {y_0^2}{b^2}=1,\dfrac {\lambda ^2x_1^2}{a^2}+\dfrac {\lambda ^2y_1^2}{b^2}=\lambda ^2,$$两式相减得$$\dfrac {(x_0+\lambda x_1)(x_0-\lambda x_1)}{a^2}+ \dfrac {(y_0+\lambda y_1)(y_0-\lambda y_1)}{b^2}=1-\lambda ^2,$$从而有$$x_0-\lambda x_1=\dfrac {a^2}{c}(\lambda -1).$$因此可解得$$2x_0=\dfrac {a^2}{c}(\lambda -1)-c(1+\lambda ).$$同理可得 $x_0-\mu x_2=\dfrac {a^2}{c}(1-\mu )$．这样就有$$2x_0=\dfrac {a^2}{c}(1-\mu)+c(1+\mu),$$于是有$$\dfrac {a^2}{c}(\lambda -1)-c(1+\lambda )=\dfrac {a^2}{c}(1-\mu)+c(1+\mu).$$整理得$$\lambda +\mu=2\cdot\dfrac {a^2+c^2}{a^2-c^2},$$命题得证．
答案
解析
备注
