已知不与 $x$ 轴垂直的直线 $l$ 与椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 交于 $A,B$ 两点，与 $x$ 轴交于 $P$ 点，与 $y$ 轴交于 $Q$ 点，若 $\overrightarrow{PA}=\lambda\overrightarrow{AQ}$，$\overrightarrow{PB}=\mu\overrightarrow{BQ}$，证明：若 $Q$ 为定点，则 $\lambda+\mu$ 为定值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $P(m,0)$，$Q(0,n)$，则 $A\left(\dfrac{m}{1+\lambda},\dfrac{\lambda n}{1+\lambda}\right)$，$B\left(\dfrac{m}{1+\mu},\dfrac{\mu n}{1+\mu}\right)$ 由点 $A,B$ 在椭圆上，有\[ \begin{cases}\dfrac{m^{2}}{a^{2}}+\dfrac{\lambda^{2}n^{2}}{b^{2}}=(1+\lambda)^{2}\\ \dfrac{m^2}{a^2}+\dfrac{\mu^2n^2}{b^2}=(1+\mu)^2\end{cases} \]两式相减得\[\dfrac{n^2}{b^2}=\dfrac{(1+\lambda)^2-(1+\mu)^2}{\lambda^2-\mu^2}=1+\dfrac{2}{\lambda+\mu}\]因此 $\lambda+\mu$ 为定值 $\dfrac{2b^2}{n^2-b^2}$．
答案
解析
备注
