设过点 $P(m,0)$（$M$ 为常数且 $m\ne 0$）的直线与椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 相交于两点 $M,N$，且 $\overrightarrow{MP}=\lambda\overrightarrow{PN}$（$\lambda$ 为常数且 $\lambda\ne 0$），问在 $x$ 轴上是否存在顶点 $Q$，使得 $\overrightarrow{F_{1}F_{2}}\perp \left(\overrightarrow{QM}-\lambda\overrightarrow{QN}\right)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
存在定点 $Q\left(\dfrac{a^{2}}{m},0\right)$ 为所求
【解析】
设 $M(x_{1},y_{2})$，$N(x_{2},y_{2})$，$Q(n,0)$，则$$\overrightarrow{QM}-\lambda\overrightarrow{QN}=(x_{1}-n,y_{1})-\lambda(x_{2}-n,y_{2})=(x_{1}-\lambda x_{2}-n(1-\lambda),y_{2}-y_{2}).$$问题即是否存在 $n$，使得 $n=\dfrac{x_{1}-\lambda x_{2}}{1-\lambda }$ 为定值．而$$\dfrac{m}{a^{2}}\cdot\dfrac{x_{1}-\lambda x_{2}}{1-\lambda}=1,$$于是存在定点 $Q\left(\dfrac{a^{2}}{m},0\right)$ 为所求．
答案
解析
备注
