$\triangle ABC$ 中内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，向量 $\overrightarrow{m}=(2\sin B,-\sqrt3)$，$\overrightarrow{n}=\left(\cos2B,2\cos^2\dfrac{B}{2}-1\right)$，且 $\overrightarrow{m}\parallel\overrightarrow{n}$．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
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求锐角 $B$ 的大小；标注答案$\dfrac{\pi}{3}$解析因为 $\overrightarrow{m}\parallel \overrightarrow{n}$，所以$$2\sin B\left(2\cos^2\dfrac{B}{2}-1\right)=-\sqrt3\cos2B,$$于是$$\sin 2B=-\sqrt3\cos 2B,$$即 $\tan2B=-\sqrt3$．
又因为 $B$ 为锐角，所以 $2B\in(0,\pi)$，从而 $2B=\dfrac{2\pi}{3}$，故 $B=\dfrac{\pi}{3}$． -
如果 $b=2$，求 $S_{\triangle ABC}$ 的最大值．标注答案$\sqrt3$解析因为$$B=\dfrac{\pi}{3},b=2,$$由余弦定理，得$$a^2+c^2-ac-4=0,$$再结合$$a^2+c^2\geqslant2ac,$$得 $ac\leqslant4$，当且仅当 $a=c=2$ 时，等号成立．
因此 $\triangle ABC$ 的面积最大值为 $\sqrt3$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
