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已知点 $M(4,0)$，点 $P$ 在曲线 $y^2=8x$ 上运动，点 $Q$ 在曲线 $(x-2)^2+y^2=1$ 上运动，则 $\dfrac{|PM|^2}{|PQ|}$ 的最小值为 \((\qquad)\)
A: $\sqrt 3$
B: $4$
C: $\sqrt 5$
D: $6$
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT测试理科数学（二测）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    抛物线
    >
    抛物线的几何量
    >
    抛物线的基本量与几何性质
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    常用不等式
    >
    均值不等式
【答案】
B
【解析】
记抛物线 $y^2=8x$ 的焦点为 $F$，则 $F(2,0)$，则\[\dfrac{|PM|^2}{|PQ|}\geqslant \dfrac{|PM|^2}{|PF|+1},\]设 $t=|PF|+1$，则 $P$ 点的横坐标为 $t-3$，从而\[\dfrac{|PM|^2}{|PF|+1}=\dfrac{(t-3-4)^2+8(t-3)}{t}=t+\dfrac{25}t-6\geqslant 4.\]等号当 $t=5$ 时取得，因此所求的最小值为 $4$．
题目 答案 解析 备注
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