$n$ 个空间的点，任意两点的距离都相等，求 $n$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
首先，从正四面体出发到顶点的四个向量就满足要求．
接下来证明 $n \geqslant 5$ 时不符合题意．只需要证明 $n = 5$ 时不符合题意即可．
不妨设其中一个向量为 $\left( {1 , 0 , 0} \right)$，其他四个向量分别为 $\left( {x_i , {y_i} , {z_i}} \right)$，$i = 1 , 2 , 3 , 4$，则 $x_i < 0$，$i = 1 , 2 , 3 , 4$．
对于其他四个向量中任意两个向量的数量积，$$\left( {x_i , {y_i} , {z_i}} \right) \cdot \left( {x_j , {y_j} , {z_j}} \right)= x_ix_j + {y_i}{y_j} + {z_i}{z_j}< 0,$$于是 ${y_i}{y_j} + {z_i}{z_j} < 0$，也就是说这四个向量中的任意两个向量在 $yOz$ 平面上的投影夹角均为钝角，而这显然是不可能的．
综上，$n$ 的最大值为 $4$．
接下来证明 $n \geqslant 5$ 时不符合题意．只需要证明 $n = 5$ 时不符合题意即可．
不妨设其中一个向量为 $\left( {1 , 0 , 0} \right)$，其他四个向量分别为 $\left( {x_i , {y_i} , {z_i}} \right)$，$i = 1 , 2 , 3 , 4$，则 $x_i < 0$，$i = 1 , 2 , 3 , 4$．
对于其他四个向量中任意两个向量的数量积，$$\left( {x_i , {y_i} , {z_i}} \right) \cdot \left( {x_j , {y_j} , {z_j}} \right)= x_ix_j + {y_i}{y_j} + {z_i}{z_j}< 0,$$于是 ${y_i}{y_j} + {z_i}{z_j} < 0$，也就是说这四个向量中的任意两个向量在 $yOz$ 平面上的投影夹角均为钝角，而这显然是不可能的．
综上，$n$ 的最大值为 $4$．
答案
解析
备注
