已知函数 $f(x)=\dfrac{2x+3}{3x}$，数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1,a_{n+1}=f\left(\dfrac{1}{a_n}\right),n\in\mathbb N^*$．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
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求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=\dfrac23n+\dfrac13$解析因为$$a_{n+1}=f\left(\dfrac{1}{a_n}\right)=\dfrac{\frac{2}{a_n}+3}{\frac{3}{a_n}}=a_n+\dfrac23,$$所以 $\{a_n\}$ 是以 $\dfrac23$ 为公差的等差数列．
又 $a_1=1$，所以$$a_n=\dfrac23n+\dfrac13.$$ -
令 $T_n=a_1a_2-a_2a_3+a_3a_4-a_4a_5+\cdots-a_{2n}a_{2n+1}$，求 $T_n$．标注答案$T_n=-\dfrac49(2n^2+3n)$解析由题可得\[\begin{split}T_n&=a_1a_2-a_2a_3+a_3a_4-a_4a_5+\cdots-a_{2n}a_{2n+1}\\&=a_2(a_1-a_3)+a_4(a_3-a_5)+\cdots+a_{2n}(a_{2n-1}-a_{2n+1})\\&=-\dfrac43(a_2+a_4+\cdots+a_{2n})\\&=-\dfrac49(2n^2+3n).\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
