已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 经过点 $(0,1)$，离心率为 $\dfrac{\sqrt3}{2}$．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
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求椭圆 $C$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$解析依题意有$$b=1,\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt3}{2},$$解得 $a=2$．
因此椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$． -
设直线 $l:x=my+1$ 与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点，点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $A'$（$A'$ 与 $B$ 不重合），则直线 $A'B$ 与 $x$ 轴是否交于一定点？若是，请写出定点坐标，并说明你的结论；若不是，请说明理由．标注答案直线 $A'B$ 与 $x$ 轴交于定点 $(4,0)$解析联立直线与椭圆，消去 $x$，得$$(my+1)^2+4y^2=4,$$即$$(m^2+4)y^2+2my-3=0.$$设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则 $A'(x_1,-y_1)$．
根据韦达定理，得$$y_1+y_2=-\dfrac{2m}{m^2+4},y_1y_2=-\dfrac{3}{m^2+4}.$$设经过 $A'(x_1,-y_1),B(x_2,y_2)$ 的直线方程为$$y+y_1=\dfrac{y_2+y_1}{x_2-x_1}(x-x_1),$$令 $y=0$，则 $x=\dfrac{y_1x_2+y_2x_1}{y_2+y_1}$．
因为点在直线上，所以当 $y=0$ 时，$$\begin{split}x&=\dfrac{y_1(my_2+1)+y_2(my_1+1)}{y_2+y_1}\\&=\dfrac{2my_1y_2+y_1+y_2}{y_2+y_1}=4,\end{split}$$即直线 $A'B$ 与 $x$ 轴交于定点 $(4,0)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
