若 $\dfrac 12mx^2+(m-1)-1\geqslant \ln x$ 恒成立，求 $m$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\varphi\left({\rm e}^{-W\left(\frac 12\right)}\right)={\rm e}^{W\left(\frac 12\right)} $
【解析】
分离变量可得$$m\geqslant \dfrac{\ln x+x+1}{\dfrac 12x^2+x},$$设右侧函数为 $\varphi(x)$，则其导函数$$\varphi'(x)=\dfrac{\dfrac 12(x+1)(-x-2\ln x)}{\left(\dfrac 12x^2+x\right)^2},$$于是其极大值点为 $x={\rm e}^{-W\left(\frac 12\right)}$，于是 $m$ 的最小值为$$\varphi\left({\rm e}^{-W\left(\frac 12\right)}\right)={\rm e}^{W\left(\frac 12\right)}.$$
答案
解析
备注
