题目 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，给出如下定义：<br/>对于 $\odot C$ 及 $\odot C$ 外一点 $P$，$M,N$ 是 $\odot C$ 上两点，当 $\angle MPN$ 最大时，称 $\angle MPN$ 为点 $P$ 关于 $\odot C$ 的“视角”， 问题1 $\odot O$ 的半径为 $1$，若点 $P$ 在直线 $y=-\dfrac {\sqrt 3}{3}x+2$ 上，且点 $P$ 关于 $\odot O$ 的“视角”大于 $60^\circ$，求点 $P$ 的横坐标 $x_P$ 的取值范围；<img src="/static/images/8d5044fd02a75025a88073a6fc4e84b3.png" class="img-responsive" /> 答案1 $0<x_P<\sqrt 3$ 解析1 因为点 $P$ 关于 $\odot O$ 的“视角”大于 $60^\circ$，<br/>所以点 $P$ 在以 $O$ 为圆心 $1$ 为半径与 $2$ 为半径的圆环内．<br/>因为点 $P$ 在直线 $y=-\dfrac {\sqrt 3}{3}x+2$ 上，<br/>如图<img src="/static/images/d8c90656bc4b4867ded8a3ea29ce8121.png" class="img-responsive" />则 $2$ 为半径的圆与直线 $y=-\dfrac {\sqrt 3}{3}x+2$ 的交点横坐标为临界点，<br/>所以 $x_P=0$ 或 $\sqrt 3$，<br/>所以 $0<x_P<\sqrt 3$． 备注1 问题2 $\odot C$ 的圆心在 $x$ 轴上，半径为 $1$，点 $E$ 的坐标为 $(0,1)$，点 $F$ 的坐标为 $(0,-1)$，若线段 $EF$ 上所有的点关于 $\odot C$ 的“视角”都小于 $120^\circ$，求点 $C$ 的横坐标 $x_C$ 的取值范围．<img src="/static/images/224d291bb29f8fae2e407de7e14b29bd.png" class="img-responsive" /> 答案2 $x_C<-\dfrac{2\sqrt 3}{3}$ 或 $x_C>\dfrac {2\sqrt 3}{3}$ 解析2 因为关于 $\odot C$ 的“视角”小于 $120^\circ$，<br/>所以该点在以 $C$ 为圆心 $\dfrac{2\sqrt 3}{3}$ 为半径圆外，<img src="/static/images/d4a3cf60ac384a9c8f6cb6b6fc38817c.png" class="img-responsive" />所以 $x_C<-\dfrac{2\sqrt 3}{3}$ 或 $x_C>\dfrac {2\sqrt 3}{3}$． 备注2