排球单循环赛，胜得 $1$ 分，负不得分，南方球队比北方球队多 $9$ 支，南方球队的总得分是北方球队的 $9$ 倍．求证：冠军是一直南方球队．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设北方球队共有 $x$ 支，则南方球队有 $x + 9$ 支．所有球队总得分为$${\rm{C}}_{2x + 9}^2 = \dfrac{{\left( {2x + 9} \right)\left( {2x + 8} \right)}}{2} = \left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right),$$南方球队总得分为$$\dfrac{9}{{10}}\dfrac{{\left( {2x + 9} \right)\left( {2x + 8} \right)}}{2} = \dfrac{{9\left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{10}},$$北方球队总得分为$$\dfrac{{\left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{10}},$$南方球队内部比赛总得分 ${\rm{C}}_{x + 9}^2$，北方球队内部比赛总得分 ${\rm{C}}_x^2$．于是$$\dfrac{{\left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{10}} - \dfrac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2} \geqslant 0,$$解得$$\dfrac{{11 - \sqrt {229} }}{3} \leqslant x \leqslant \dfrac{{11 + \sqrt {229} }}{3} < \dfrac{{11 + 16}}{3} = 9,$$因为 $\dfrac{{\left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{10}}$ 为整数，解得 $x = 6$ 或 $x = 8$．
情形一 当 $x = 6$ 时．
所有球队总得分为$${\rm{C}}_{2x + 9}^2 = \dfrac{{\left( {2x + 9} \right)\left( {2x + 8} \right)}}{2} = \left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right) = 210,$$南方球队总得分为$$\dfrac{9}{{10}}\dfrac{{\left( {2x + 9} \right)\left( {2x + 8} \right)}}{2} = \dfrac{{9\left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{10}} = 189,$$北方球队总得分为$$\dfrac{{\left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{10}} = 21,$$南方球队内部比赛总得分 ${\rm{C}}_{x + 9}^2 = 105$；北方球队内部比赛总得分 ${\rm{C}}_x^2 = 15$．于是北方胜南方得分 $21 - 15 = 6$；北方球队最高得分 $5 + 6 = 11$，因为 $11 \times 15 = 165 < 189$．所以南方球队中至少有一支得分超过 $11$ 分．冠军在南方球队中．
情形二 当 $x = 8$ 时．
所有球队总得分为$${\rm{C}}_{2x + 9}^2 = \dfrac{{\left( {2x + 9} \right)\left( {2x + 8} \right)}}{2} = \left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right) = 300,$$南方球队总得分为$$\dfrac{9}{{10}}\dfrac{{\left( {2x + 9} \right)\left( {2x + 8} \right)}}{2} = \dfrac{{9\left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{10}} = 270,$$北方球队总得分为$$\dfrac{{\left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{10}} = 30,$$南方球队内部比赛总得分 ${\rm{C}}_{x + 9}^2 = 136$，北方球队内部比赛总得分 ${\rm{C}}_x^2 = 28$．北方胜南方得分 $30 - 28 = 2$，北方球队最高得分 $7 + 2 = 9$，因为 $9 \times 17 = 153 < 270$，所以南方球队中至少有一支得分超过 $9$ 分．冠军在南方球队中．
综上所述，冠军是一支南方球队．
所有球队总得分为$${\rm{C}}_{2x + 9}^2 = \dfrac{{\left( {2x + 9} \right)\left( {2x + 8} \right)}}{2} = \left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right) = 210,$$南方球队总得分为$$\dfrac{9}{{10}}\dfrac{{\left( {2x + 9} \right)\left( {2x + 8} \right)}}{2} = \dfrac{{9\left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{10}} = 189,$$北方球队总得分为$$\dfrac{{\left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{10}} = 21,$$南方球队内部比赛总得分 ${\rm{C}}_{x + 9}^2 = 105$；北方球队内部比赛总得分 ${\rm{C}}_x^2 = 15$．于是北方胜南方得分 $21 - 15 = 6$；北方球队最高得分 $5 + 6 = 11$，因为 $11 \times 15 = 165 < 189$．所以南方球队中至少有一支得分超过 $11$ 分．冠军在南方球队中．
所有球队总得分为$${\rm{C}}_{2x + 9}^2 = \dfrac{{\left( {2x + 9} \right)\left( {2x + 8} \right)}}{2} = \left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right) = 300,$$南方球队总得分为$$\dfrac{9}{{10}}\dfrac{{\left( {2x + 9} \right)\left( {2x + 8} \right)}}{2} = \dfrac{{9\left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{10}} = 270,$$北方球队总得分为$$\dfrac{{\left( {2x + 9} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{10}} = 30,$$南方球队内部比赛总得分 ${\rm{C}}_{x + 9}^2 = 136$，北方球队内部比赛总得分 ${\rm{C}}_x^2 = 28$．北方胜南方得分 $30 - 28 = 2$，北方球队最高得分 $7 + 2 = 9$，因为 $9 \times 17 = 153 < 270$，所以南方球队中至少有一支得分超过 $9$ 分．冠军在南方球队中．
综上所述，冠军是一支南方球队．
答案
解析
备注
