设 $A,B$ 是圆 $O_1$ 与圆 $O_2$ 的两个交点，过 $A$ 作直线分别交圆 $O_1$，圆 $O_2$ 于 $C,D$ 两点，过 $C,D$ 两点分别作圆 $O_1$ 与圆 $O_2$ 的切线，并过 $B$ 点分别作这两条切线的垂线，垂足分别为 $P,Q$．求证：$PQ$ 是以 $AB$ 为直径的圆的切线．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛江苏省复赛（加试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $CP,DQ$ 相交于 $E$ 点，则$$\angle BDQ=180^\circ-\angle BAD=\angle BAC=\angle BCP,$$故 $B,C,E,D$ 四点共圆，即点 $B$ 在 $\triangle CDE$ 的外接圆上．
作 $BH\perp CD$ 于 $H$，由 $\mathrm{Simson}$ 定理，得 $P,H,Q$ 三点共线．
因为 $\triangle AHB$ 的外接圆即是以 $AB$ 为直径的圆，设 $O$ 为 $AB$ 的中点，只要证明 $OH\perp PQ$．
事实上，$$\begin{split}\angle OHQ&=\angle OHD+\angle DHQ\\&=\angle OAH+\angle DBQ\\&=\angle BDQ+\angle DBQ\\&=90^\circ.\end{split}$$因此，$OH\perp PQ$．
作 $BH\perp CD$ 于 $H$，由 $\mathrm{Simson}$ 定理，得 $P,H,Q$ 三点共线．
因为 $\triangle AHB$ 的外接圆即是以 $AB$ 为直径的圆，设 $O$ 为 $AB$ 的中点，只要证明 $OH\perp PQ$．
事实上，$$\begin{split}\angle OHQ&=\angle OHD+\angle DHQ\\&=\angle OAH+\angle DBQ\\&=\angle BDQ+\angle DBQ\\&=90^\circ.\end{split}$$因此，$OH\perp PQ$．
答案
解析
备注
