四面体一个顶点处的三个角分别是 $\dfrac{{\rm{\pi }}}{2} , \dfrac{{\rm{\pi }}}{3} , \arctan 2$，求 $\dfrac{{\rm{\pi }}}{3}$ 的面和 $\arctan 2$ 的面所成的二面角的大小．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
${\rm{\pi }} - \arccos \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}$
【解析】
设所求角为 $\theta$，则$$\cos \theta = \dfrac{{\cos \dfrac{{\rm{\pi }}}{2} - \cos \dfrac{{\rm{\pi }}}{3} \cdot \cos \left( {\arctan 2} \right)}}{{\sin \dfrac{{\rm{\pi }}}{3} \cdot \sin \left( {\arctan 2} \right)}} = \dfrac{{0 - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}}}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}}} = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{6},$$从而 ${\rm{\pi }} - \arccos \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}$ 为所求．
答案
解析
备注
